Методические указания конспект лекций по дисциплине «Прикладная механика и основы конструирования» (стр. 11 )

Чистый изгиб

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

Брус, работающий на изгиб называется балкой.

На изгиб работают: балки, валы

На боковую поверхность призматического резинового бруса прямоугольного сечения нанесем сетку продольных и поперечных прямых линий и подвергнем этот брус деформации чистого изгиба.

При этом

поперечные прямые линии останутся при деформации прямыми, но повернутся навстречу друг другу; продольные прямые линии, а также ось бруса искривятся; волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне - сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Слой волокон не испытывающий деформации растяжения сжатия называется нейтральным слоем.

Т. к. при деформации растяжения и сжатия возникают нормальные напряжения, поэтому при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью.

На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Поперечный изгиб балки

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю.

Это свойство используется для определения реакций в опорах.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси, алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Изгибающий момент в любом сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Правило знаков:

1) если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным;

Дифференциальные зависимости при изгибе или теорема Журавского

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределения нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского.

Русский инженер-мостострои

Теорема Журавского: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

Рассмотрим балку

Запишем уравнение для определения поперечной силы для сечения z.

Q=RA-F1+q(z-b).

Запишем уравнение изгибающего момента на одном из участков балки с текущей координатой z.

Mu=RAz+M-F1(z-a)+q(z-b)2/2.

Продифференцировав это уравнение по z получим.

.

Выражение в правой части есть поперечная сила Q в сечении z. Следовательно .

Если уравнение изгибающих моментов продифференцировать второй раз получим:

.

Вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределения нагрузки.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Для наглядного изображения распределения моментов строят эпюры, которые дают возможность определить опасное сечение балки.

При построении эпюр следует руководствоваться следующими правилами:

в сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно. на участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов представляет собой наклонную прямую, а эпюра поперечных сил – прямую, параллельную оси. в сечении, где приложена пара сил или моментов, значение изгибающего момента меняется скачкообразно. На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил – наклонную прямую. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если не приложена пара сил. правильность построения эпюр следует проверять с помощью теоремы Журавского

Нормальные напряжения при чистом изгибе

В поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия.

Двумя поперечными сечениями AB и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds.

Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим ρ.

Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Этот слой в результате деформации изгиба удлинился на величину nn1.

В виду малости величины деформации треугольники ΔOEF и ΔFn1n считают подобными.

.

⇒ . Согласно закону Гука σ=Eε ⇒ σ=E.        (1)

Нормальные напряжения при изгибе распределены неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси.

По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.

Эпюра распределения нормальных напряжений имеет вид:

В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA.

Нормальная сила dN действующая на площадку dA равна: dQ=σdA.

1) Т. к. система находится в равновесии, следовательно ∑Fi(z)=0 ⇒ .

, т. к. E и ρ не равны нулю, следовательно .

- статический момент площади.

Равенство нулю статического момента площади означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения.

2) . –m+.

Так как при чистом изгибе внутренний изгибающий момент равен внешнему Mu=m, то

Mu=.

где - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.

EI – жесткость сечения при изгибе.

Радиус нейтрального слоя равен .

Подставляя в формулу (1) получаем .

Максимальное напряжение будет у волокон наиболее удаленных от нейтральной оси.

, где - момент сопротивления изгибу.

Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.

Единица измерения момента сопротивления изгибу – [W]=м3.

Наибольшее нормальное напряжение при чистом изгибе вычисляется по формуле: .

для прямоугольника b×h: W= круг диаметром d: W=0.1d3.

Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений.

Касательные напряжения при изгибе

Поперечная сила стремится сдвинуть одну часть балки относительно другой в направлении, перпендикулярном к оси балки. Поэтому поперечная сила вызывает в плоскости поперечного сечения балки касательные напряжения.

В поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, вызывающие деформации сдвига.

В силу закона парности касательных напряжений в балке появляются касательные напряжения, действующие параллельно нейтральной плоскости, которые стремятся сдвинуть горизонтальные слои балки друг относительно друга.

Возьмем балку, составленную из двух ничем не скрепленных брусьев, и нагрузим ее изгибающей силой. Каждый отдельный брус в этом случае будет вести себя, как самостоятельная балка. Концы такой балки принимают при изгибе ступенчатое расположение, т. е. отдельные брусья сдвигаются друг относительно друга в продольном направлении. В целой балке ступенчатости концов не получается, Следовательно упругие силы препятствуют этому продольному сдвигу.