Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 10 )

№4. Учащиеся могут догадаться, что на рисунке изображен график функции у=х+1/х.

№5. Определить точно нуль функции, а также точки максимума и минимума функции не представляется возможным, поэтому при решении данной задачи достаточно указать интервал, которому принадлежат упомянутые выше точки.

№8-10. Для построения графика воспользуйтесь разделом «Преобразования графиков» виртуальной лаборатории «Графики функции».

Пункт 1.3

При построении нескольких графиков на одном рисунке пользуйтесь разными цветами.

2. Тригонометрические функции

Основные цели

Усилить роль наглядности при изучении тригонометрических функций путем использования тригонометрического круга и графиков функций.

Методический комментарий

В задачах п.1 «Измерение углов» угол изображается, как это принято в тригонометрии, точкой единичной окружности с центром в начале координат. Основное назначение этих задач – способствовать формированию и закреплению навыков перевода градусной меры в радианную и наоборот (№1-4), определение угла, соответствующего точке единичной окружности и нахождения точки единичной окружности соответствующей данному углу (№5-7), а также определение четверти координатной плоскости, в которой расположена эта точка (№8).

Важнейшим инструментом решения задач этого пункта, как и всей главы, является тригонометрический круг (виртуальная лаборатория «Тригонометрия»). Поэтому прежде чем решать задачи, учащийся должен изучить возможности, предоставляемые этой лабораторией. Важное значение имеет задача №9, в которой необходимо определить количество точек данного множества, принадлежащих указанному промежутку.

Материалы п.2 «Определение и основные свойства тригонометрических функций» содержат задачи, предназначенные прояснить смысл определений тригонометрических функций (№1,2), связь между ними (№3,4,5), а также закрепить основные свойства тригонометрических функций: интервалы монотонности (№8) и знакопостоянства (№6,7), периодичность (№9,10) и четность (№11). Задача №14 – это исследование свойств тригонометрической функции в указанном интервале путем «чтения» графика этой функции. Задания этого пункта разнообразны по форме: определение значения функции по графику, выбор правильного ответа, вычисление значения функции, определение знака выражения.

Наиболее сложному разделу тригонометрии – «Обратные тригонометрические функции» – посвящен п.3. В этом пункте содержатся задачи на определение точных значений обратных тригонометрических функции (№3,6) и приближенных значений по соответствующему графику (№4), задачи, целью которых является закрепление навыков выполнения преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции (№5,6), а также задачи, проливающие свет на основные свойства обратных тригонометрических функций: область определения (№7), монотонность (№9), связь между обратными тригонометрическими функциями (№10).

Отработке навыков решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств посвящен п.4 данной главы.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№1. Радианную меру угла округляйте по недостатку, оставляя лишь одну значащую цифру после запятой.

№2. Градусную меру угла округляйте по недостатку до целого числа градусов.

Пункт 2.2

№1-2. Значения тригонометрических функций округляйте по недостатку, оставляя лишь одну значащую цифру после запятой.

№6-8. Если решение задачи вызывает затруднение, воспользуйтесь тригонометрическим кругом.

Пункт 2.3

№4. Значения обратных тригонометрических функций округляйте по недостатку, оставляя лишь одну значащую цифру после запятой.

Пункт 2.4

№8-9. При решении неравенств воспользуйтесь тригонометрическим кругом.

3. Показательная и логарифмическая функция

Основные цели

Отработать навыки преобразований логарифмических и показательных выражений, способствовать прояснению свойств показательных и логарифмических функций.

Методический комментарий

Упражнения п.1 «Определение и свойства степени» имеют своей целью способствовать формированию понятия степени с произвольным показателем, а также вычислительных навыков при работе со степенями.

В п.2 «Показательная функция и её свойства» содержатся задачи, которые проясняют свойства показательной функции: характер монотонности в зависимости от основания степени (№1,10), множество значений а также максимумы и минимумы сложной функции, содержащей степени. Целью решения задач №2,3 является формирования графического образа показательной функции.

В п.3 «Определение и свойства логарифмов» собраны задачи на вычисление логарифмов (№1-3), использование основного логарифмического тождества (№4) и основных свойств логарифмов (№5). В результате выполнения этих заданий приобретаются навыки работы с логарифмическими выражениями.

Задачи №1, 2, 3 п.4 «Логарифмическая функция и её свойства», в которых требуется исследовать основные свойства логарифмической функции, учащийся может решить как с помощью графика, так и без него. Задачи №4, 5, 6 (нахождение интервалов возрастания и убывания функции, а также наибольших и наименьших значений функции) целесообразно решать путем построения соответствующего графика функции.

Простейшие показательные уравнения и неравенства представлены задачами №1-4 п.5 настоящей главы. При решении уравнения необходимо указать единственное решение, а при решении неравенства – выбрать один интервал из нескольких предложенных. Весьма важной является задача №5. Каждое из данных уравнений имеет единственное решение, которое учащийся может угадать. Тем не менее полезно решить каждое из этих уравнений графически. Этот прием позволит убедиться, что уравнение не имеет других решений.

Главу завершает п.6 «Взаимно обратные функции». Задачи этого пункта весьма разнообразны как по содержанию, так и по формам ответа: выбрать правильных ответ (№1,6,7,8), получить и записать формулу для функции, обратной данной (№2), построить график обратной функции (№3), определить по графику прямой функции, значение обратной функции (№4,5). Такое разнообразие делает процесс изучения основных понятий данной темы интересным и эффективным.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№5-6. Ответы могут быть записаны в разных формах.

Пункт 3.2

№6. Значения выражения округляйте по недостатку, оставляя лишь одну значащую цифру после запятой.

Пункт 3.4

№8. Значения десятичных логарифмов округляйте по недостатку, оставляя лишь одну значащую цифру после запятой.

Пункт 3.5

№5. Постройте графики левой и правой частей уравнения и найдите абсциссу точки пересечения графиков.

№6. Есть указание к решению.

4. Графические приемы решения уравнений и неравенств с параметрами

Основные цели

Создать дополнительные возможности для решения задач с параметрами.

Методический комментарий

В п.1 «Координатная плоскость (х, у)» собраны задачи, которые должны помочь учащимся освоить один из наиболее эффективных способов решения задач с параметрами. Виртуальная лаборатория «Графики функций» предоставляет хорошие возможности для быстрого получения ответа в задаче.

В п.2 «Координатная плоскость (х, а)» представлены упражнения, в которых параметр а полезно рассматривать в качестве второй переменной. Решения этих заданий сводятся к построению графика уравнения f(x, a)=0 или a=g(x) в координатной плоскости (х, а). Приобретение навыков графического решения уравнений и неравенств с параметрами окажет большую помощь и при изучении аналитических способов решения подобных задач.

Начала анализа

1. Производная и её применение

Основные цели

Способствовать формированию основных понятий данной темы, усилить роль графических представлений при решении задач с использованием производной функции.

Методический комментарий

Упражнения п.1 «Приращение аргумента и приращение функции» помогают усвоить важнейшие понятия математического анализа, предшествующие определению производной. Учащийся должен научиться вычислять приращение функции, заданной различными способами: аналитически, то есть при помощи формулы (№1,2), графически (№3), при помощи таблицы (№4). Механический смысл разностного отношения как средней скорости проясняется в задачах №5,6, а геометрический смысл (тангенс угла наклона секущей) – в задачах №7,8.

Основное назначение задач №1–3 п.2 «Производная функции. Механический и геометрический смысл производной» состоит в закреплении представления о производной функции как о пределе разностного отношения. Задачи №4,8,9 дают наглядное представление о механическом смысле производной, а задачи №5,6,7 – о геометрическом смысле производной функции в данной точке.

Навыки вычисления производных элементарных функций а также простейшие правила дифференцирования отрабатываются в п.3 «Правила дифференцирования».

В п.4 «Монотонность и экстремумы функции» предложены задачи, в которых на основе графического анализа производной требуется найти интервалы монотонности функции (№1,5), а также экстремумы функции (№2,4). Возможность непосредственного построения графика производной функции, заданной аналитически, позволяет учащемуся при решении этих задач не отвлекаясь на технические моменты, сосредоточить своё внимание на изучении связи между поведением производной функции и самой функции. Задача №7 (определение количества корней уравнения) представляет собой небольшое математическое исследование и расширяет класс задач, которые успешно решаются с помощью производной.

Задачи на составление уравнения касательной (№1,2), приближенные вычисления при помощи дифференциала (№3,4,5), применение производной в механике (№6,7) предложены в п.5 «Приложение производной и дифференциала». Использование в этом пункте виртуальной лаборатории «Графики функций» делает формулировку и сам процесс решения  задач наглядным, что способствует более глубокому пониманию сути этих задач.

Основной целью задач п.6 «Наибольшее и наименьшее значения функции» является отработка навыков и умений применения  производной при решении различных прикладных задач. Упражнения №2–8 предполагают составление соответствующей функции и нахождение её экстремумов путем графического анализа производной.