Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 9 )

№5,6. В этих задачах ученики должны научиться формировать средствами лаборатории случайные события из случайных исходов. Если событие сформировано правильно, то его частота получается автоматически.

№7. Та же задача, что и в №5,6, но теперь частота события вычисляется средствами электронной таблицы.

№8,9. Хотя материал главы не предусматривает формального введения понятия случайной величины, в задаче идет речь именно об этом. Интересно еще до проведения эксперимента, выслушать предположения учащихся о том, какие распределения будут получены в этих задачах (например, предложить им нарисовать будущие полигоны частот).

Пункт 2.2

№1. Продолжает обсуждение проблем, поднятых в №3 из предыдущего пункта.

№2. По существу в задаче появляется понятие дополнительных событий и выясняется вопрос об их частоте и вероятности.

№3. Задача чисто теоретическая, в экспериментах не нуждается: получить  «крайние» случаи, в которых 100 раз подряд выпадают только орлы или только решки, экспериментально невозможно, хотя именно такие серии нужно использовать, чтобы оценить значение частоты после 200 испытаний сверху и снизу.

№4. Еще одна задача на тему, поднятую в №3 из предыдущего пункта.

№5. В этой задаче впервые (и, разумеется, неявно) рассматривается бесконечное пространство исходов: ведь первый орел может выпасть в 1-м, 2-м, 3-м, … бросании. Задачу можно решать двумя способами.

1-й способ (длинный и честный). Выбираем модель с одной монетой и начинаем проводить по одному бросанию за каждого игрока, пока не выпадет орел. Выпал орел – фиксируем, чей это выигрыш и начинаем новую игру. Проведя достаточно большое количество игр (хотя бы 100) можно получить удовлетворительную оценку вероятностей и даже догадаться, чему равны их точные значения.

2-й способ (короткий, но не совсем честный). Выбираем модель с несколькими (например 7-ю) монетами, причем договоримся различать их между собой, называя первой, второй и т. д. Ясно, что вместо семикратного бросания одной монеты можно один раз бросит нашу семерку монет. Только в одном из 128 возможных исходов эксперимента «орел» не выпадает вовсе (т. е. наша игра не заканчивается). Значит, с точностью до 1/128 можно оценить интересующие нас вероятности, сформировав первое событие из исходов, в которых первый орел стоит на нечетном месте  (1,3,5,7), а второе событие – на четном (2,4,6).

3. Классическое определение вероятности

Основные цели

Закрепить классическое определение вероятности, как отношения числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента; продемонстрировать границы применимости классического определения, неразрывно связанного с равновозможностью исходов; дать возможность убедиться в эквивалентности статистического и классического определений вероятности, путем постановки статистических экспериментов и проверки теоретических результатов.

Методический комментарий

Главная методическая особенность данного раздела – прослеживание связи статистического и классического определения вероятности. Во всех предлагаемых задачах ответ может быть получен без привлечения компьютера через комбинаторные рассуждения. Однако всякий раз у ученика сохраняется возможность проверить полученный результат, поставив соответствующий эксперимент в лаборатории.

Отметим, что получаемые в результате эксперимента оценки вероятности носят лишь приближенный характер, что не позволяет просто «срисовать» их с экрана, а лишь использовать как ориентиры для проверки правильности своих рассуждений и выкладок.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№1-4. Эти задачи могут решаться без использования лабораторий. Однако описание той или иной реальной ситуации в рамках одной из предложенных моделей представляет и самостоятельный интерес, являясь столь же неотъемлемой частью общематематической культуры, что и умение работать с числами или геометрическими конструкциями. Например, в задаче №1,в можно предложить ученикам описать эксперимент в рамках «урновой схемы», выбрав в качестве гласных букв шары одного цвета, а в качестве согласных – другого. Такое описание сразу дает возможность говорить и о вероятностях более сложных событий («выбираем три буквы» и др.).

№5. Задачу можно описать в рамках модели «Шары без возвращения» с N зелеными (яблоки) и 1 желтым (груша) шарами. Если не учитывать порядок шаров и различать только их цвета, то получим всего два (неравновозможных!) исхода, один из которых и будет искомым. Чтобы решить задачу теоретически нужно выбрать систему равновозможных исходов (различать не только цвета, но и сами шары).

№6. Как и предыдущая, задача хорошо описывается в рамках модели «Шары без возвращения»: 2 красных (левые варежки) и 2 желтых (правые варежки) шара. Интересно, что в пунктах а) и б) получается одинаковый ответ.

№7. Задача описывается в рамках модели «Шары без возвращения»: из 3-х шаров извлекаем 3 с обязательным учетом порядка и различая все шары между собой.

Пункт 3.2

№1. Простая задача на освоение интерфейса лаборатории.

№2. Эта задача еще раз  возвращает нас к «ошибке Даламбера» (см. №4 из пункта 2.1).

№3. Здесь существенно, что при выборе системы исходов мы должны учитывать порядок шаров – иначе не удастся выразить через них событие B. Эта простая задача связана с очень глубоким понятием измеримости в теории вероятностей (попросту говоря, чем «мельче» исходы, тем богаче система случайных событий).

№4,5. Еще раз обсуждается понятие равновозможности. Ученики должны усвоить «золотое» правило: природа различает любые предметы, - даже те,  которые кажутся нам внешне одинаковыми.

№6. Довольно сложная комбинаторная задача, которая очень просто описывается с помощью модели «Шары без возвращения»: 10 шаров по 2 шара каждого цвета. Такое описание не только позволяет получить приближенный ответ (лаборатория сама вычисляет вероятность любого события с точностью до 0,0001), но и найти путь к точному решению.

Пункт 3.3

№1,2. Простые задачи, в которых ученики должны освоить основные приемы работы в лаборатории (выбор различных систем исходов, формирование событий) и закрепить классическое определение вероятности.

№3. Чтобы получить в сумме меньше 8 очков, на всех кубиках должны выпасть 1, либо на одном 2, а на остальных 1.

№4,5. Это снова задачи на тему «природа различает шары, а не их цвета». В этом легко убедиться, поставив соответствующие эксперименты.

№6,7. Эти задачи существенно отличаются друг от друга устройством замков: в первом случае кнопки нажимаются одновременно («Шары без возвращения»), во втором – последовательно, с возможностью повторного использования той же цифры («Шары с возвращением»). Разные модели и, естественно, совершенно разные решения.

№8. Легко решается с помощью лаборатории – но дает лишь приближенные ответы. Чтобы заработать плюс, нужно найти точное решение (а вот его уже можно проверить в лаборатории).

№9-12. Комбинаторные задачи, для которых не требуется использования лабораторий.

№13. Это повторение задачи 6 из предыдущего пункта с требованием найти искомую вероятность комбинаторными рассуждениями.

№14. Решается теоретически и проверяется с помощью модели «Монеты».

№15. Перекликается с задачей о шляпах, но теперь разные стрелки могут стрелять в одного и того же вальдшнепа («надевать одну и ту же шляпу»). Поэтому в качестве модели следует выбрать «Шары с возвращением»: в коробке 3 разноцветных шара («3 вальдшнепа»), выбираем из нее 3 шара с возвращением («делаем 3 выстрела»). Интересующее нас событие состоит в том, что среди вынутых шаров нет всех трех цветов.

№16. Решается аналогично №№4,5.

№17. Задача непростая с точки зрения теории. Нужно выбрать модель с пятью монетами (5 выстрелов) и посчитать, в скольких исходах количество орлов не менее 3-х. А теперь попробовать убедить учеников, что эта модель соответствует описанной ситуации!

Методические рекомендации: 10-11 классы

Алгебра

1. Функции и графики

Основные цели

Закрепить основные понятия данной темы, отработать навыки преобразования графиков функций.

Методический комментарий

В п.1 «Понятие функции» содержатся задачи, способствующие формированию понятия функции: вычисление значения функции, заданной аналитически (№1), определение значения функции по её графику (№2, 3), нахождение области определения функции (№4) и множества значений функции (№5, 6). Задачи №8, 9 и 10 призваны закрепить понятие суперпозиции функций.

Первые три задачи п.2 «Основные свойства функций» предоставляют простор для творческой фантазии учащихся: здесь требуется построить эскиз графика функции по некоторым её свойствам. Исследование свойств функции по её графику необходимо провести в задачах №4 и 5. Задачи 6-10 служат цели усвоения важнейших свойств функции: четности и периодичности. Для успешного решения задач 8, 9 и 10 учащиеся должны приобрести навыки работы с виртуальной лабораторией «Графики функций», в частности, научиться осуществлять простейшие преобразования графиков функции. Этому вопросу полностью посвящен п.3 «Преобразования графиков функций». В этом пункте содержатся задачи, в которых учащиеся должны научиться определять преобразования, позволяющие из графика функции y=f(x) получить график некоторой другой функции (№1, 2, 3), а также использовать необходимые преобразования для построения графика указанной функции (№4 -10). Кроме того учащиеся должны уметь определить вид функции по данным преобразованиям с исходным графиком (№11). Задача 12 – задача - исследование, требующая от учащихся не только умения строить графики функций, но и правильно интерпретировать полученный результат.

Комментарий к упражнениям

Пункт 1.1

№1. Ответ к третьему и четвертому пунктам этой задачи представляет собой формула, которая, является результатом подстановки вместо х соответствующего выражения. Для записи ответа воспользуйтесь редактором формул.

№3. Учащиеся, конечно же могут решить эту задачу и аналитически.

№4. При решении этой задачи можно воспользоваться графиком функции.

Пункт 1.2

№1-3. Решения этих заданий неоднозначно. Целесообразно выводить эскизы графиков на большой экран.