Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 7 )

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№2. Подтверждать правильность выбора или опровергать его нужно с помощью соответствующего графического изображения.

№4-5. Упражнения целесообразно продублировать.

№7. К упражнению есть "подсказка".

№7.г) Левую часть уравнения нужно разложить на множители:

(x-2)(x+2)(y-1)(y+1)=0.

График состоит из четырех попарно параллельных прямых:

x=2, x=-2, y=1, y=-1.

Пункт 3.2

№3. Таблица заполняется на основе наблюдений.

№10. Можно строить разные сетки, выбирая разный "шаг" по осям. Например, можно взять прямые y=x, y=x-1, y=x+1, y=x-2, y=x+2 и т. д., а также y=-x, y=-x-2, y=-x+2, y=-x-4, y=-x+4 и т. д.

№13.1а) Построению должно предшествовать коллективное обсуждение: как должна располагаться прямая, симметричная прямой

y= -2x+4 относительно оси x. После этого подбор коэффициентов будет более осознанным.

№13.1б) Предлагается для индивидуального решения.

№14. Возможные варианты решений:

а)  y=3, y=-3, y=2x=5, y=2x-5;

б)  y= -x+2, y= -x-2, y= x-2, y= x+2.

№15. Возможные варианты решений:

а)  y=3x+4, y=-3x+4, y=-2;

б)  y= 0,4x-2, y= -0,4x+2, y=-1.

Пункт 3.3

№4. Возможные варианты ответов:

а)

  ⎧  x+y=7

  ⎨

  ⎩  2 x - y=2 ;  решением служит пара x=3, y=4;

в)

  ⎧  2x+y= -1

  ⎨

  ⎩  x - y= -5 ;  решением служит пара x=-2, y=3;

№6. Задача сводится к подбору уравнения прямой, проходящей через точки (0;-1) и (4;5); точнее - ее углового коэффициента. Прием решения описан в "подсказке".

Пункт 3.4

№1-3. Эти упражнения образуют "цепочку". "Граничные" прямые являются вертикалями или горизонталями. Неравенствами задаются полуплоскости (№1), вертикальная и горизонтальная полосы (№2), прямоугольник (№3).

№8.1) Системой неравенств задается прямоугольник. Учащиеся должны это не только увидеть, но и обосновать.

4. Функции

Основные цели

Усиление роли наглядности и эмпирических подходов при изучении функциональных понятий; развитие образного мышления; формирование обобщенных функционально-графических представлений.

Методический комментарий

Данная тема предусматривает использование компьютера как при знакомстве с общими функциональными понятиями, такими как график функции, свойства функции, преобразование графиков (п. п. 4.1 и 4.5), так и при изучении конкретных классов функций - линейной, обратной пропорциональности, квадратичной (п. п. 4.2, 4.3, 4.4, 4.6). Понятно, что учитель может по-разному использовать предлагаемый материал, меняя последовательности вопросов  и "встраивая" его в учебный процесс с учетом особенностей изложения материала в учебнике, по которому ведется преподавание. Что касается конкретных заданий, предлагаемых для решения в данной теме, то их основное назначение - продемонстрировать некоторые типичные  учебные ситуации, в которых целесообразно использование компьютера.

Выполнению заданий п.4.1 "График функции и ее свойства", естественно, должно предшествовать знакомство по учебнику с некоторыми первоначальными сведениями о функциях, основной терминологией, формирование умений работать с формулой, задающей функцию. Основной акцент, конечно же, должен быть сделан на понятие "график функции", на обучение находить с помощью графика значения y по заданному значению x и решать обратную задачу.

После этого целесообразно подключение компьютера. На первом уроке учащиеся должны научиться получать на экране график нужной функции. Следует помнить, что при вызове на экран графика функции того или иного вида, всегда появляется изображение для единичных значений коэффициентов. Чтобы получить нужный график, следует ввести соответствующие значения коэффициентов.

Учитель может предлагать для построения графиков разные формулы, например:

y = 3x - 2,

y = 2x2 - 4x + 1,

y = x3 - 4x, 

y = x4 - 5x2 + 6, 

y =   и т. д.

При этом должны использоваться разные цвета. Одновременно с формированием умения получать на экране нужный график, полезно проводить некоторые коллективные наблюдения. Учащиеся видят, что графики весьма разнообразны; одни линии непрерывны, другие - разрывны. Можно подмечать характерные особенности графиков и описывать их "естественным" языком, без подключения функциональной терминологии. Например: график сначала "идет вверх", а затем - "опускается вниз"; график два раза пересекает ось x; график целиком расположен выше оси x и т. д. Можно также предлагать находить координаты каких-либо характерных точек графика.

После такой подготовительной работы можно перейти к выполнению заданий п.4.1. Здесь уже активно используется функциональный язык, с которым учащиеся должны были познакомиться при работе с учебником. В зависимости от методики, принятой в том или ином учебнике, эти упражнения могут быть выполнены полностью на первом же этапе или распределено, по мере появления тех или иных понятий.

Пункты 4.2, 4.3, 4.4, 4.6 посвящены изучению конкретных видов функций: линейной, функций вида y=,  y=ax2,  y=ax2+bx+c. Рекомендуется каждый раз использовать компьютер для получения общих представлений о графике, о его расположении в координатной плоскости. Учащиеся на основе наблюдений могут сделать и некоторые выводы, которые потом можно будет обосновать. Например: график функции y= состоит из двух частей; при k>0 он располагается в I и III координатных углах и т. д.

Пункт 4.5 посвящен рассмотрению сдвигов параболы y=ax2 вдоль координатных осей. Однако целесообразно по ходу занятий использовать этот материал для формирования обобщенных представлений, рассматривая сдвиги графиков и других функций (программа дает такую возможность).

Комментарий к упражнениям

Пункт 4.1

№3. При выполнении подобных заданий многие учащиеся допускают ошибки. Они сравнивают лишь значения функции на концах промежутка, который служит областью определения функции, и "теряют" из вида верхнюю (нижнюю) точку графика.

№4. Исходным должно быть рассуждение аналитического характера: график пройдет через начало координат, если при подстановке в формулу значения x=0, получается y=0. Компьютер служит для контроля, для подтверждения или опровержения вывода.

№6. См. комментарий к упражнению 4.

№7. Графики первой группы - непрерывные линии, второй - разрывные.

Пункт 4.2

№6. Полезно коллективное обсуждение. Можно по каждому пункту вывести на большой экран ответы разных учеников.

Пункт 4.3

№6.а) Строится гипербола y=; ее положение не меняется. Затем вводится прямая y=kx.

Коэффициент k должен "пробегать" как положительные, так и отрицательные значения; нужно не забыть рассмотреть k=0. Для прямой y=kx лучше использовать цвет, отличный от цвета гиперболы и осей координат.

Пункт  4.4

№1-3. Основная цель этих упражнений - "открытие" свойств функции y=ax2.

№5-6. Это "цепочка" задач. Результат выполнения №5 обобщается и применяется для решения №6. Полезно сформировать общий вывод: графики функций y=f(x) и y=-f(x) симметричны относительно оси x. Можно также подтвердить его конкретными наблюдениями.

№7. Здесь все коэффициенты при x2 положительны, поэтому учащиеся могут дать такой вывод: чем больше a, тем "круче" парабола.

Полезно дополнительно выполнить аналогичное задание для функций y= - 0,3x2, y = - 10x2, y = - 8x2,  y = - 0,1x2 и уточнить формулировку, использовав термин "модуль".

Пункт 4.5

№9. Ответ: y=-x2-2.

№10. Ответы: а) y=-(x+2)2;  б) y=(x-2)2.

№13. Полезно вывести на большой экран формулы и графики, предложенные разными учениками.

№15.

а) y=|x|  и  y=|x-3|;

б) y=|x|  и  y=|x+2|-4;

в) y=   и  y=;

г) y=  и  y= .

Пункт  4.6

№4. Цель упражнения - подготовка к решению квадратных неравенств.

№5. Задача решается методом, который условно можно назвать "графическим подбором".

В формулу y=ax2+bx+c вводятся известные коэффициенты, а неизвестный подбирается таким образом, чтобы парабола заняла требуемое положение.

5. Уравнения второй степени с двумя переменными и их системы

Основные цели

Расширение круга представлений учащихся о графиках уравнений с двумя переменными; увеличение удельного веса заданий графического характера.

Методический комментарий

Основа для изучения данной темы подготовлена материалами таких разделов, как "Линейные уравнения с двумя переменными" и "Функции и их графики". Учащиеся уже встречались с прямой, гиперболой, параболой как с графиками уравнений.

При выполнении заданий п.5.1 "Графики некоторых уравнений второй степени с двумя переменными" этот список пополнится  уравнениями окружности (с центром в начале координат и в произвольной точке координатной плоскости), параболы с горизонтальной осью симметрии, эллипса. Задания направлены на формирование умения распознавать уравнения той или иной линии, а также на изучение соответствующей кривой путем наблюдения изменения ее формы и положения при изменении параметров уравнения (см., например, №6,7). Здесь не забыта и эстетическая составляющая темы. Так в №5 предлагается построить орнамент; подобного рода задания могут придумать и сами учащиеся.