Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 6 )

№12. Задача скорее алгебраическая. Интересно проверить полученные зависимости на крайних случаях (x=1, x – очень большое число и т. д.).

№13. Это снова одна из задач, позволяющая до доказательства провести ряд экспериментов. Интересно, например, обнаружить случаи, когда размах и стандартное отклонение совпадают.

Методические рекомендации: 7-9 классы

Алгебра

1. Введение в алгебру

Основные цели

Отработка в интерактивном режиме навыков составления буквенных выражений и выполнения числовых подстановок, простейших преобразований буквенных выражений, которые носят "базовый" характер,  решения простейших линейных уравнений.

Методический комментарий

Материалы п. п. 1.1 "Буквенные выражения"  и  1.2 "Числовое значение буквенного выражения" включают упражнения, которые существенно  разнообразят, обогащают и делают более целенаправленной традиционную систему заданий, используемую при формировании соответствующих навыков. Буквенные выражения рассматриваются в разных содержательных контекстах: для ответов на вопросы сюжетных задач (№ 3-7), для построения фигур, имеющих заданную площадь (№ 2). Последний из перечисленных фрагментов может быть охарактеризован как "геометрическая алгебра". Для него разработан специальный инструментарий, который используется и в следующих пунктах.

Задания на вычисление числового значения буквенного выражения даются с выбором ответа (№ 1, 3, 7),  в виде блок-схем и таблиц (№ 2, 4 – 6 из п.1.2).  Такая формулировка позволяет увеличить объем тренировочных упражнений, а сами по себе упражнения чрезвычайно полезны с точки зрения развития навыков устных вычислений. Упражнения № 9-10 из п.1.2 по  сути являются короткими математическими исследованиями, в ходе которых происходит осмысление того, как меняется значение буквенного выражения в зависимости от изменения значения переменной.

Упражнения п.1.3. "Степень с натуральным показателем" используются на этапе формирования соответствующих понятий после изучения материала по учебнику.  Решения № 1-2 полезно вывести на большой экран и обсудить структуру получающихся выражений. Затем работа строится дифференцированно. Учащимся, нуждающимся в дополнительной отработке основных умений, предлагаются задания № 5-7. Интерактивный режим, обеспечиваемый компьютером, позволит каждому увидеть собственные ошибки и исправить их, а задание из рубрики "Экспресс-контроль" – повторно выполнить упражнение, вызвавшее затруднение. Учащимся, усвоившим материал на хорошем уровне, можно с целью самопроверки начать работу с упражнения "Экспресс-контроль", а затем перейти к заданиям № 3-4, 8-10.

Материалы п. п. 1.4 "Преобразование буквенных выражений" и 1.5 "Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых" служат цели формирования базовых умений, без прочного овладения которыми невозможно дальнейшее изучение алгебры. Обращаем внимание учителя на задания№ 1-2. Их цель – формирование понятия тождественно равных выражений. При этом используется нестандартный прием: соотнесение набора выражений с геометрической фигурой, площадь которой может быть найдена разными способами.  После этого рассматриваются простейшие преобразования сумм и произведений, выполняемые на основе свойств арифметических действий (№ 3-9). Упражнения № 11-12  – это "взгляд в будущее". По сути учащиеся должны выполнить преобразование таких выражений как (а+в)(с+d)  и (а+в)2 , исходя из содержательных соображений. Пункт 1.5 естественно разбивается на три фрагмента: первый служит поддержке умений раскрывать скобки (№ 1-6), второй – приводить подобные слагаемые (№ 7-10), третий – сочетать раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых (№ 11-15).

Упражнения п.1.6 "Уравнения с одной переменной" можно предложить всем учащимся полностью на первоначальном этапе обучения решению уравнений и текстовых задач  методом составления уравнений.

Комментарий к упражнениям

Пункт 1.1

№2-10. Каждое упражнение включает по три задания; первое из каждого набора полезно разбирать коллективно с выводом на большой экран.

№8. Ученики могут дать разные ответы. Например, для третьей строки:

  а–0,1а;  0,9а;  а.

Пункт 1.2

№3-5. По ходу заполнения строк таблицы необходимы устные пояснения.

№6. В случае затруднений надо обратиться к подсказке. Предлагаемый здесь прием носит общий характер: чтобы сделать вывод о буквенном выражении, полезно использовать числовые подстановки.

Пункт 1.3

№8. Полезно обратить внимание учащихся на достаточно быстрый рост членов последовательности, предложив им дополнительно найти номера членов последовательности, начиная с которых они будут больше 10 тыс., 30 тыс., 80 тыс. (ответ: при n = 10; 14; 18).

№10. Для расположения чисел в порядке возрастания используется результат упражнения № 9: если  0<a<1  и  m<n,  то  am > an.

№8,10. Решение неоднозначное. Компьютер положительно “отреагирует” на любой верный ответ.

2. Неравенства

Основные цели

Создание дополнительных возможностей при систематизации знаний учащихся о действительных числах, а также наглядной опоры для усвоения понятия о числовых промежутках и соответствующих обозначений, для решения линейных уравнений с одной переменной и их систем.

Методический комментарий

Расширяются возможности использования инструментария "Координатная прямая". Использование координатной прямой в п.2.1 "Действительные числа" делает доступной и интересной учебную деятельность, направленную на усвоение сложного в идейном отношении материала о действительных числах. Упражнения № 1-4 способствуют развитию умений соотносить числа с координатной прямой, сравнивать и упорядочивать действительные числа. В упражнениях № 5-12 учащиеся в прямом смысле могут последовательно просматривать разряды десятичного приближения и делать выводы.

Упражнения п.2.2 "Числовые промежутки" помогают усвоению перехода от изображения числового промежутка к его обозначению, к записи в виде  неравенства и наоборот.  Упражнения п.2.3 "Линейные неравенства с одной переменной и их системы" направлены на отработку отдельных шагов решения простейших неравенств и их систем, в которых учащиеся допускают наибольшее число ошибок. Например, промежуточного шага, в котором потребуется умножить (или разделить) обе части неравенства на отрицательный коэффициент; заключительного шага решения любой системы неравенств, где потребуется найти общие решения неравенств, входящих в систему.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№1. Надо оценить, между какими целыми числами располагается данное число, "придвинуть" его к соответствующему отрезку координатной прямой и найти нужную метку.

№4. Понятно, что точки и располагаются между числами 6 и 7. Координатная прямая поможет определить их место относительно  числа 6,5.

№10.б) В дробной  части записи числа первое место занято цифрой 2,  следующие места занимают повторяющиеся триады цифр 5, 4, 9.  Так как при делении 76 на 3 в остатке получится 1, то на 77-м месте окажется цифра 5.

№11.а) Числовой эксперимент проводится с помощью координатной прямой: визуально определяется, при каком значении буквы значение  выражения примерно равно 5,744.

3. Линейные уравнения с двумя переменными

Основные цели

Усиление роли графических представлений при формировании основных понятий темы; увеличение удельного веса заданий, предполагающих работу с графиками линейных уравнений.

Методический комментарий

Назначение п.3.1 "Линейное уравнение с двумя переменными и его график" - это работа с уравнениями прямой общего вида, т. е. с уравнением  a x + by =  c, где  хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. При этом задания направлены, прежде всего, на отработку основных, базовых умений:

- распознавание уравнения данного вида и умение правильно указать коэффициенты a, b и c;

- распознавание важных частных случаев, когда прямая - график уравнения - параллельна одной из координатных осей;

- умение определять по графику координаты указанных точек, в частности, точек пересечения с осью x и с осью y и др. (см.№2-6).

Кроме того, учащиеся знакомятся с обратной задачей подбора уравнения конкретной прямой (№8), а также с более сложными графиками, "сконструированными" из прямых (№7).

В п.3.2 "Уравнение прямой вида y=kx + l" аналогичная работа продолжается с уравнением прямой, разрешенным относительно переменной y, т. е. с уравнением вида y = kx + l. Здесь использование компьютера облегчит формирование полезного умения - по коэффициентам k и l  уравнения y = kx + l  представлять положение прямой на координатной плоскости (см.№3, 4). Важная роль в этом месте курса должна быть отведена исследовательской деятельности, организованной с помощью компьютера. Так, учащиеся путем наблюдений должны открыть для себя такие факты, как положение в плоскости прямой y= kx в зависимости от знака коэффициента k (№5), влияние коэффициента k на угол наклона к положительному направлению  оси x (№6), параллельность прямых с одинаковым угловым коэффициентом (№8). Эта исследовательская деятельность должна предшествовать изучению материала по учебнику; учебный процесс здесь целесообразно строить по схеме: наблюдение - вербальное выражение установленного факта - обоснование (если оно доступно на данном этапе) - применение.

Назначение п.3.3 "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными" - это создание наглядной основы для усвоения таких понятий, как "система уравнений с двумя переменными", "решение системы", а также графическое исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

В п.3.4 "Графическая интерпретация линейного неравенства с двумя переменными" содержатся привлекательные для многих учащихся упражнения - построение на координатной плоскости различных областей, ограниченных прямыми. Компьютер "берет на себя" все проблемы технического характера, что позволяет учащимся дать простор фантазии при создании собственных "картинок". Немаловажным является и то обстоятельство, что учащиеся многократно наблюдают, какая полуплоскость задается неравенством вида y ≥ kx + l, а какая  - неравенством вида y ≤ kx + l. Одновременно формируется основа для умения самостоятельно указывать соответствующую полуплоскость.