Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 5 )

2. Случайная выборка и ее представление

Основные цели

Познакомить с реальными примерами случайных выборок, полученных в результате статистических экспериментов, наблюдений, опросов; закрепить определения различных видов частот (абсолютных, относительных, накопленных) и алгоритмов их вычисления; отработать навыки по свободному переходу от одной формы представления выборки к другой (числовой ряд, ранжированный ряд, таблица частот, полигон, гистограмма); познакомить с понятием группировки данных и объяснить его смысл.

Все перечисленные выше цели рассматриваются в неразрывной связи с их практической реализацией на компьютере при работе с электронной таблицей.

Методический комментарий

В этом разделе продолжается освоение школьником возможностей ЭТ по автоматической обработке статистических данных. Появляется необходимость в упорядочивании информации, составлении частотных таблиц, графическом представлении данных.

Особое внимание при вычислении частот следует обратить на правильный ввод формул и выбор адресации ячеек.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№1. Первый (и необходимый!) шаг – упорядочивание ряда данных (говоря статистическим языком – ранжирование). После этого в одном столбце  ЭТ выписываются различные значения ряда, в другом – их абсолютные частоты (их подсчет по ранжированному ряду легко произвести в уме). Находится объем выборки, т. е. сумма абсолютных частот – она нужна для вычисления относительных частот. Наконец, строится столбец относительных частот: соответствующая абсолютная  частота делится на объем выборки. При задании последней формулы нужно правильно задать адреса ячеек: абсолютная частота задается относительным адресом, а объем выборки – абсолютным (иначе нельзя будет копировать формулу на весь столбец!).

№2. Абсолютная частота вычисляется как относительная, умноженная на объем выборки (т. е. на 60).

№3. Первая относительная частота совпадает с первой накопленной. Каждая очередная относительная частота получается как разность очередной и предыдущей накопленной частоты.

№4. О вычислении столбца относительных частот – см.№1. Столбец накопленных частот вычисляется так: первая накопленная частота совпадает с первой относительной. Каждая следующая накопленная частота равна сумме предыдущей накопленной и очередной относительной частоты.

№5. Отличие от предыдущих задач только в том, что в таблице даны две выборки. Для ответа на дополнительный вопрос («Какое значение можно подставить …») понадобится столбец накопленных частот.

№6. Технически задача ничем не отличается от предыдущих. Интересно до ее решения обсудить с учащимися, что они ожидают получить (например, сделать предположение о форме будущего полигона частот).

Пункт 2.2

№1. Задача по своей постановке напоминает №1 из предыдущего пункта, но требует дополнительного этапа – группировки данных. Сначала необходимо ранжировать данные, затем выписать в отдельных ячейках начала и концы интервалов группировки (один столбец – начало, второй – конец) и посчитать (в уме) количество чисел в каждом интервале. Для ответа на вопрос в) требуется заполнить ввести еще один столбец – середину каждого интервала. Именно середину интервала нужно умножать на  абсолютную частоту, чтобы, сложив все такие произведения, получить приблизительную оценку для общей стоимости.

№2. В этой задаче требуется умение «прочитать» числовые данные по гистограмме.

№3. Умение вычислять относительные и накопленные частоты уже отрабатывалось ранее. Самым сложным в этой задаче является дополнительный вопрос. С точки зрения статистики это вопрос о вычислении т. н. «персентилей»: нужно найти значения, при которых накопленная частота впервые превышает 1/3 и 2/3. Задача осложняется тем, что это нужно сделать по интервальной таблице частот. Из таблицы можно найти только интервал, в котором содержится неизвестное число. Для его точного определения составляется соответствующая пропорция.

№4. В этой задаче достаточно заполнить столбец накопленных частот и определить интервал, в который попадает медиана выборки.

3. Числовые характеристики выборки

Основные цели

Закрепить определения основных числовых характеристик выборки и получить практические навыки их вычислений; рассмотреть алгоритмы вычисления средних характеристик и характеристик разброса разными способами и по разным формам представления выборки; познакомить учащихся с понятием «математического эксперимента», как новой формы исследовательской деятельности.

Реализация последней цели становится возможной только благодаря использованию компьютера, позволяющего автоматизировать большой объем вычислительной работы, связанной с обработкой статистической информации.

Методический комментарий

Главный акцент следует сделать на качественном поведении числовых характеристик и их практической интерпретации.

Особое внимание нужно уделить различным способам вычисления числовых характеристик; предостеречь учащихся от ошибок, связанных с механическим применением формул без обдумывания их содержательного смысла. Особенно удобны для этого упражнения, в которых исходная выборка предстает в различных формах: числовой ряд, словесное описание, таблица частот.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№1. Для вычисления среднего арифметического используется кнопка «Суммирование» с последующим делением полученной суммы на объем выборки. Для вычисления медианы ряд нужно ранжировать (кнопка «Упорядочить по возрастанию»).

№2. Задача отличается от предыдущей только тем, что на первом этапе необходимо «списать» выборку в ЭТ с представленной диаграммы.

№3. Внимание! Перед решением этой задачи нужно предостеречь учеников от одной из наиболее распространенных ошибок: механическом переносе способов работы с числовым рядом на  таблицу частот. Здесь нельзя обойтись обычным суммированием заданных в таблице чисел.

1-й способ решения. Сначала нужно построить дополнительный столбец, в котором будут найдены произведения каждого значения (столбец «Возраст») на его абсолютную частоту (столбец «Число участников»). Теперь найти сумму полученных произведений. Поделить ее на сумму абсолютных частот (объем выборки).

2-й способ решения. Построить столбец относительных частот. Построить столбец, в котором вычислить произведение каждого значения (столбец «Возраст») на его относительную частоты. Найти сумму этих произведений.

Полезно решить эту задачу двумя способами и сравнить результаты. Можно обсудить и неправильное решение, о котором говорилось выше.

№4. В этой задаче числовые характеристики вычисляются по интервальной таблице частот, поэтому появляется дополнительный начальный шаг – получение в отдельном столбце середин заданных интервалов. Именно этот столбец участвует в дальнейших расчетах.

№5,6. Требуется сначала «списать» числовые данные с полигона и гистограммы.

№7. В задаче идет речь о среднем арифметическом, моде и медиане.

№8,9. Перед теоретическим выводом соответствующей формулы ученик имеет возможность провести «математический эксперимент», чтобы увидеть искомую закономерность и выдвинуть гипотезу. Это не только позволяет увидеть правильный ответ, но и наводит очень часто на метод доказательства (которое, кстати говоря, совсем не обязательно требовать ото всех учеников).

№10. Для ответа на вопрос в) следует умножить среднее количество детей в семье на 500.

№11. Надо найти моду, среднее, медиану и накопленную частоту для 1000.

№12. Следует ввести произвольный числовой ряд, вычислить в ЭТ его основные характеристики, а затем следить за их изменением при варьировании чисел ряда.

№13. Трудность может вызвать только пункт б). Формулу для среднего вывести несложно. Дальше остается доказать, что мода и медиана не изменятся.

№14. В пункте б) нужно умножить средний доход от одного билета на число проданных за год билетов.

Пункт 3.2

№1. Вычислять дисперсию в этой и последующих задачах проще всего не по определению, а по приведенной в основных сведениях формуле: среднее значение квадрата выборки минус квадрат среднего значения.  Для этого сначала вычисляем среднее арифметическое приведенных значений. Затем строим дополнительный столбец, в котором вычисляем квадраты исходных значений (возводить в квадрат удобно с помощью операции возведения в степень: A1^2). Находим их среднее арифметическое. Вычитаем из него квадрат среднего арифметическое – это и есть дисперсия. Для вычисления стандартного отклонения используем функцию SQRT или возводим дисперсию в степень 1/2.

№2. Требуется сначала «списать» числовые данные с гистограммы.

№3. Важность этой задачи, как и в предыдущем пункте, в том, что здесь требуется вычислить параметры выборки не по числовому ряду, а по таблице частот, поэтому механизм вычислений совсем не такой, как в №1. Для вычисления дисперсии, как и при вычислении среднего, есть два способа: использовать абсолютные или относительные частоты. Оба способа описаны в №3 предыдущего пункта. Заметим только, что при вычислении дисперсии понадобится еще два дополнительных столбца: в одном нужно найти квадраты исходных значений («квадраты возрастов»), а в другом – произведения этих квадратов на абсолютные (или относительные) частоты.

№4. В этой задаче числовые характеристики вычисляются по интервальной таблице частот, поэтому появляется дополнительный начальный шаг – получение в отдельном столбце середин заданных интервалов. Именно этот столбец участвует в дальнейших расчетах.

№5. Для ответа на вопрос задачи следует посчитать дисперсию.

№6. По данным задачи строятся две таблицы частот, по которым и рассчитываются основные характеристики каждой выборки.

№7. Требуется только четкое знание определений.

№8,9. См. комментарий к задачам 8,9 предыдущего пункта.

№10. Ответ можно получить экспериментально или воспользоваться результатом исследований, проведенных в предыдущей задаче.

№11. При решении задачи нужно обратить внимание, что размах – самая чувствительная к ошибкам измерений статистическая характеристика. Все остальные характеристики ведут себя гораздо устойчивее (особенно при больших объемах выборки).