Методические рекомендации по использованию электронного издания (ЭИ) "Математика 5-11" (стр. 8 )

В п.5.2 "Графическое решение и исследование систем уравнений с двумя переменными" предлагается линия использования графиков для решения и исследования уравнений с двумя переменными. Применение компьютера позволяет рассматривать и некоторые системы с параметром, что в традиционной методике является весьма сложной задачей для учащихся. Подчеркнем, что главное здесь - динамичные наблюдения и выявления возможных случаев взаимного расположения графиков, определение числа точек их пересечения (см.№4). Такие задания создают хорошую эмпирическую основу для решения в последующем уравнений и систем с параметрами аналитическими методами.

Логически оправданным продолжением материала, рассмотренного выше, является п.5.3 "Графическое решение уравнений с одной переменной". Акцент здесь делается на отыскание корней уравнений третьей и четвертой степени (см.№1-4). Итогом выполнения соответствующих заданий могут явиться некоторые обобщения, сделанные на основе наблюдений. Например: уравнение третьей степени всегда имеет хотя бы один корень, а уравнение четвертой степени (как и квадратное уравнение) - нет; уравнение третьей степени может иметь один корень, два корня или три и т. д.

Завершается тема  рассмотрением п.5.4 "Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их системы". С самой постановкой задачи учащиеся познакомились, рассматривая линейные неравенства с двумя переменными. Здесь задача сложнее: если график уравнения - некоторая кривая, то более трудно определить области, которые соответствуют неравенству, составленному с помощью знака ≥ или ≤. Однако, эта проблема "снимается" с помощью компьютера, и учебная задача состоит в наблюдении, накоплении опыта, формировании умения выполнить в несложных случаях подобное задание самостоятельно на бумаге. Подчеркнем также, что для учащихся обычно привлекательной  является возможность получения на координатной плоскости разнообразных "картинок" (см.№4,5).

Комментарий к упражнениям

Пункт 5.1

№1. Обратите внимание: ученик сначала должен распознать уравнение и внести в таблицу термин - название его графика. Компьютеру же отводится роль наглядного средства для самоконтроля.

№3-4. Сложность здесь для многих учеников состоит в умении правильно определить координаты центра окружности.

№6-7. Здесь учащиеся знакомятся с уравнениями новых линий - эллипса и горизонтальной параболы. Главное учебное действие - наблюдение, придание фигуре желаемой формы и положения через изменение параметров. 

Пункт 5.2

№1-2. Если в первом задании решения системы - точные, то во втором - приближенные; их достаточно определить с одним знаком после запятой.

№4. Не надо усугублять и так нелегкую для учащихся задачу исследования системы уравнений с параметром требованием указывать сами решения при тех или иных значениях параметра. Главное здесь - возможность наблюдения в динамике изменения взаимного расположения двух графиков.

Пункт 5.4

№2-3. Упражнения начинаются с простого случая рассмотрения линейных неравенств; тем самым актуализируются знания, полученные учащимися ранее.

№4. Естественным развитием этого упражнения является самостоятельное описание на алгебраическом языке и построение различных множеств точек плоскости. Наиболее интересные "картинки" должны быть предъявлены классу.

Геометрия

Комментарий к упражнениям

Пункт 1.2

№1. Для начала нужно построить треугольник АВМ, такой что АВ=ВМ.

№4-5. Задачи предполагают исследование возможности такого построения.

Пункт 1.4

№3. Если, например, точки А и В совпадают, то секущая АВ превращается в касательную, параллельную CD.

№5. Задача предполагает исследование возможности такого построения.

Пункт 1.5

№2 и №4. Использовать равенство отрезков касательных, выпущенных из одной точки.

№5. Обозначить через x, y и z длины отрезков касательных из точек А, В и С соответственно. Выразить через них длины сторон треугольника и искомые отрезки.

Пункт 2.1

№4. Построить параллелограмм, у которого одним из углов был бы данный угол, а данная точка являлась бы точкой пересечения диагоналей.

Пункт 2.3

№5. Показать, что данные биссектрисы вместе с боковой стороной образуют прямоугольный треугольник, медиана которого, выпущенная из вершины прямого угла, параллельна основаниям трапеции.

Пункт 2.4

№5. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

Пункт 2.6

№4. Отразить точку А относительно первой стороны угла, а точку В - относительно второй. Соединив эти точки, получим на сторонах угла искомые точки отражения.

Пункт 2.7

№1. Пусть О - начало координат, М - точка пересечения медиан. Тогда вектор ОМ равен одной трети суммы векторов ОА, ОВ и ОС.

Пункт 2.8

№2. Данные треугольники имеют равные высоты.

№4. Использовать отношение,  в котором медианы делятся точкой пересечения.

Пункт 3.1

№5. С помощью теоремы о касательной и секущей убедитесь, что все точки касания равноудалены от точки С.

Пункт 3.2

№5. Заметим, что отрезки касательных, выпущенных из вершины прямого угла, равны радиусу вписанной окружности.

Пункт 3.3

№4. Показать, что углы треугольника равны 30, 60 и 90 градусов.

№5. По теореме Пифагора треугольник со сторонами 8, 15 и 17 - прямоугольный.

Пункт 3.5

№4. Пусть М - середина высоты ВН треугольника АВС (АВ=ВС). Применим теорему Менелая к треугольнику ВСН и прямой АМ.

№5. Пусть Е - точка пересечения прямых АВ и CD. Применяя теорему Менелая для треугольника АЕD и прямой МК, найдём отношение, в котором прямая МК делит отрезок AD. Затем используем теорему Менелая для треугольника ACD и прямой МК.

Вероятность и статистика

1. Случайные исходы и события

Основные цели

Познакомить ученика с базовыми понятиями вероятностной линии: случайный эксперимент, исход эксперимента, полная система исходов, случайное событие; дать представление о классических вероятностных моделях.

Важным и обязательным результатом работы с этим разделом является овладение компьютерными средствами описания вероятностных моделей.

Методический комментарий

В этом разделе ученикам активно прививается  весьма важное умение "видеть одинаковое в разном и разное в одинаковом". Именно такой подход позволяет проиграть с помощью нескольких простейших вероятностных моделей самые разные ситуации с участием случая.

Комментарий к упражнениям

Пункт 1.1

№1. Упражнение играет вводную роль и не нуждается в комментариях.

№2. Упражнение очень простое, но может быть использовано:

во-первых, для введения понятия модель: заменяем ручки шарами – шаг пока что очевидный, но в дальнейшем он будет становиться все сложнее;

во-вторых, для знакомства с интерфейсом лаборатории «Вероятностные модели». Ученик может описать условия эксперимента, раскрасить шары, сформировать события, провести эксперимент или даже серию экспериментов. Все это будет в полной мере использоваться в дальнейшем.

№3. Можно решить задачу «умозрительно», а можно попробовать описать ее в рамках модели «Шары без возвращения». В последующих темах это все равно придется делать для вычисления частот и вероятностей соответствующих событий.

№4-7. Стандартные задачи на «принцип Дирихле», сформулированные в вероятностной терминологии.

Пункт 1.2

№1. Удобно начать с постановки соответствующего эксперимента в рамках модели «Шары без возвращения». Для сокращения количества возможных исходов можно не учитывать порядок шаров и различать только их цвета. Поведя серию экспериментов можно заметить неравновозможность таких исходов (это избавит в дальнейшем от ошибок при вычислении вероятностей).

№2-6. Пропедевтика понятия «вероятность». Пока не требуется вычислять вероятность в виде числовой характеристики, но зато необходимо умение сравнивать шансы. Задачи 5 и 6 вплотную подводят к классическому определению вероятности, как отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов. В этих задачах (очень важный момент!) речь идет о вероятностях событий, возникающих в разных экспериментах: разный состав коробки с шарами, или в одном случае кубик, а в другом - колода карт.

2. Статистическое определение вероятности

Основные цели

Познакомить ученика с базовым понятием вероятности, как предельного значения относительной частоты в достаточно длинной серии экспериментов. Понятия «предельное значение» и «достаточно длинная серия» не расшифровываются – вместо этого ученику предоставляется возможность самостоятельно (сколь угодно долго) наблюдать за проведением такой серии с выводом ее результатов на экран.

Методический комментарий

Во всех упражнениях пункта (кроме №7) решение задачи начинается с наблюдения за серией случайных экспериментов, описанных в условии задачи. Это очень важный методический момент: школьник получает возможность воочию пронаблюдать за изменчивостью и устойчивостью частот, проверить экспериментально свои выводы и результаты. При этом скорость постановки таких «виртуальных» экспериментов несравнима с реальными, что дает возможность получать вполне приемлемые статистические оценки для вероятностей.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№1,2. Для ответов на вопросы в этих задачах требуется только знание соответствующих определений.

№3. Результаты этой задачи нуждаются в обсуждении. Задача призвана рассеять знаменитое вероятностное заблуждение, что если «уже выпало слишком много орлов, то теперь чаще будут выпадать «решки». Учащиеся должны убедиться, что в опыте с монетой приближается к нулю только разность относительных частот. Разность же абсолютных, наоборот, неограниченно возрастает (можно предложить провести самостоятельное исследование, чтобы оценить скорость этого возрастания).

№4. Задача связана со знаменитой «ошибкой Даламбера»: выбранные три возможных исхода неравновозможны, что хорошо видно из результатов проведенной серии экспериментов. Можно предложить в этом же эксперименте найти систему равновозможных исходов.