Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» (стр. 9 )

Тема 3. Геометрический смысл определенного интеграла.

Приложение интеграла к решению прикладных задач.

  Цель: Овладение практическими навыками решения прикладных задач.

Геометрический смысл определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур, объемов,  длин дуги, площади поверхности вращения. Решение физических и технических задач: вычисление работы, производимой силой; вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Литература: [2] –C.143-150; [4] – C.342-353; [7] –C.178-186.

Пример выполнения задания.

1. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиями:  у =- х2-1, у=0, х=-1, x = 2

   

Ответ: S = 6 кв. ед.

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся  через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

Задание 1 Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиями

Задание 2.  [6] –C.268-269 №№ 8.70-8.76, №№8.80-8.86.

Тема 4. Нахождение экстремумов функций многих переменных.

  Цель: Формирование практических навыков нахождения экстремумов функции многих независимых переменных.

Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Градиент и производная по  направлению. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Литература: [2] –C.173-193.

Задание 1

4.1.Найти производную функции в точке А(2;1) по направлению вектора

4.2. Найти производную функции в точке М(1;1) в направлении вектора

4.3.Найти производную функции в точке А(1;2) в направлении вектора

4.4. Найти величину и направление градиента функции в точке М(2;1).

4.5. Найти производную функции в точке М(1;2) в направлении вектора , где N (5,5).

4.6. Найти производную функции в точке P(1;2) в направлении, составляющем с осью Ox угол 60°.

4.7. Найти производную функции в точке М(2;0) в направлении вектора , где N (5,4).

4.8. Найти величину и направление градиента функции в точке М(5;3).

4.9. Найти производную функции в точке М(3;2;1) в направлении вектора , где N (5;4;2).

4.10. Найти величину и направление градиента функции в точке М(2;1;1).

Задание 2.  Исследуйте на экстремум функции:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

4.1. в треугольнике, ограниченном прямыми

4.2. в треугольнике, ограниченном прямыми

4.3. в треугольнике, ограниченном прямыми

4.4 в треугольнике, ограниченном прямыми

4.5. в области D:

4.6 в треугольнике, ограниченном прямыми

4.7. в области D:

4.8 в треугольнике, ограниченном прямыми

4.9. Найти экстремум функции в области D, где

4.10 в треугольнике, ограниченном прямыми

Тема 5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

  Цель: Формирование практических навыков решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрическая интерпретация. Методы решения дифференциальных уравнений.

Литература: [4] –C.381-383; [5] – C.241-253; [7] – C.187-199.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

+ p + qy = 0, где p, q – постоянные величины.  (1)

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение r2 + pr + q =0,  (2)

которое получается из уравнения (1) заменой , и y на соответствующие степени r, причем сама функция y заменяется единицей.

  Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней r1 и r2 характеристического уравнения(2). Здесь возможны три случая.

1_случай.  Корни r1 и r2  - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:  Y = C1 е X1 + C2 е  X2

2_случай.  Корни r1 и r2  - действительные и равные: r1 = r2 = r. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид: Y = (C1  + C2х) е  X

3_случай.  Корни r1 и r2  - комплексно-сопряженные: r1 = α + βi; r2 =  α - βi. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид: Y =  е бX (C1 cos βx + C2 sin βx).

Задания  [7] –C.271 № 9.24-9.32

Тема 6. Дифференциальные уравнения в науке и технике.

  Цель:  Активизировать познания студентов. Познакомить студентов с широким спектром применения дифференциальных уравнений.

Составление дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение показательного роста. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Доп. литература: [3] –C.345-351.

Задания Написать реферат или создать презентацию на тему «Дифференциальные уравнения в науке и технике».