Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 2 )

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего порядка называется минор этого элемента , умноженный на , который обозначается символом .

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любого его столбца (или строки) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Определение. Обратной к квадратной матрице называется
матрица того же порядка, удовлетворяющая соотношению: .

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Определение. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае матрицу называют невырожденной.

Теорема. Для любой невырожденной матрицы существует обратная, определяемая равенством:

.

Определение. Рангом матрицы размера называется наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы .

2.2.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти определитель: .

Решение

№ 000 [4]. Найти определитель матрицы .

Решение

Разложим данный определитель по элементам его третьего столбца.

.

№ 000 [4]. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

Решение

Вычислим определитель матрицы

.

Найдем алгебраические дополнения

, , , , , ,

Следовательно, .

№ 000 [4]. Найти ранг матрицы .

Решение

После вычитания первой строки из остальных получаем эквивалентную матрицу

.

Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две нулевые строки, которые можно отбросить. Так как , то .

2.2.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000(4, 7), 1205(3, 4, 6), 1206(3), 1212, 1218, 1221, 1230, 1235(2), 1253 [5].

2.2.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Исследование систем линейных уравнений».

2. Решить задачи № 000(d, f), 446, 447(a) [6], № 000, 1235(2), 1253, 1254 [5].

2.3 Практические занятия № 4–5. Системы линейных
уравнений. Матричный способ, правило Крамера.

Метод Гаусса

2.3.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Постоянные величины называют коэффициен-тами системы.

Определение. Система чисел называется решением системы уравнений, если числа ,, удовлетворяют этим уравне-ниям.

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение , иначе систему называют несовместной.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Введем для системы следующие обозначения:

, называемый главным определителем;

; ; .

Определитель получен из главного определителя заменой i-го столбца столбцом .

Рассмотрим три случая:

1)  если , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: , ;

2)  если , но отличен от нуля хотя бы один из частных определителей , то система не имеет решений;

3)  если , , , , то система имеет бесконечное множество решений.

Если матрица коэффициентов системы невырожденная, то для
нахождения решения применим также и матричный способ. Реше-
нием матричного уравнения является матрица-столбец .

Определение. Система вида

называется линейной однородной.

Данная система всегда имеет нулевое решение: , причем оно является единственным при . В противном случае система имеет бесчисленное множество решений.

2.3.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Решить систему:

матричным способом и с помощью формул Крамера.

Решение

Найдем главный определитель Так как , то данная система имеет единственное решение. Для матричного способа решения определим алгебраические дополнения

;	;
;
;	;
;	;
.

Обратная матрица имеет вид

,

а искомое решение представляет собой произведение

.

Составим частные определители

По формулам Крамера имеем: , , .

№ 000 [4]. Решить систему:

Решение

Т. к.

, то система имеет бесчисленное множество реше-ний. Если первое уравнение прибавим ко второму, то получим систему

или

Пусть – свободная неизвестная, а и – базисные. Это возможно потому, что , т. е. .

Далее,

, .

Следовательно, , , .

2.3.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: 1210(1, 2, 4, 9), 1250, 1249, 1207(1–3), 1209, 1239, 1244, 1246 [5].

2.3.4 Домашнее задание

1.  Подготовиться к контрольной работе.

2.  Решить задачи № 000, 1246, 1251 [5].

2.4 Практическое занятие № 6. Контрольная работа

Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису».

2.5 Практическое занятие № 7. Линейные операции

над векторами. Преобразование координат вектора

при изменении базиса

2.5.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Определение. Вектором называют направленный отрезок прямой, при этом начало вектора называют точкой его приложения.

Определение. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Для обозначения длины вектора используют символ модуля (абсолютной величины).

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Правило сложения векторов обладает свойствами:

1) ;

2) .

Определение. Разностью вектора и вектора называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное направлению вектора в случае .

Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Определение. Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа

.

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если линейная комбинация равна нулю только в случае, когда все числа равны нулю одновременно, в противном случае – линейно зависимы.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение. Три линейно независимых вектора образуют базис в пространстве, если любой вектор представим в виде линейной комбинации этих векторов , где – действительные числа, называемые координатами вектора относительно базиса .

Рассмотрим вектор и произвольную ось . Обозначим и основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек и .

Определение. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка оси и обозначается символом .

Теорема. Проекция вектора на ось определяется равенством

, где – угол наклона вектора к оси .

Определение. Тройка взаимно ортогональных единичных векторов , отложенных от некоторого начала – точки , называется прямоугольным базисом в пространстве.

Определение. Совокупность начала и прямоугольного базиса {} называется прямоугольной системой координат в пространстве.

Разложение вектора в базисе {} имеет вид: , где – абсцисса; – ордината; – аппликата вектора. Оси, определяемые векторами , называют координатными осями, а плоскости, проходящие через любые две координатные оси, – координатными плоскостями.

Определение. Два взаимно перпендикулярных вектора и , отложенных от некоторого начала – точки , называют прямоугольным базисом на плоскости.

Определение. Совокупность начала и прямоугольного базиса называют прямоугольной системой координат на плоскости.

Теорема. Прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси и соответственно.

Обозначим углы наклона вектора к осям и
символами . Три числа принято называть
направляющими косинусами вектора . На основании формулы
проекции и теоремы имеем: , , , где .

Если вектор задан координатами начальной и концевой точек: , то координаты вектора определяются равенством: , а его длина находится по формуле: .

Рассмотрим задачу о нахождении компонент вектора в базисе по его компонентам в базисе , при этом положение нового базиса {} относительно старого {} задано системой

Если в старом базисе вектор представим разложением ,

то, разрешая систему уравнений:

определим новые координаты вектора в базисе {}.

2.5.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Даны точка А(-1, 1) и вектор . Найти координаты такой точки В, для которой .

Решение

Пусть (х; у) – координаты точки В, тогда . Если , то х+1=3 и у–1=2, отсюда х=2, у=3, тогда В имеет координаты (2; 3).

№ 000 [4]. Вектор делит пополам угол между векторами и . Найти длину вектора , если длина вектора равна 2.

Решение

Отложим векторы и от точки О, тогда и , . Так как вектор делит пополам угол между векторами и , то ОАВС – ромб, длины векторов и равны длинам сторон ромба, т. е. .

№ 000 [4]. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем , . Найти и .

Решение

Отложим векторы и от точки О.

Пусть и , тогда , . В соответствии с условием задачи параллелограмм ОАВС является прямоугольником, а и – его диагонали. Таким образом, ==5.

№ 000 [4]. В трапеции ABCD , , . Найти длину отрезка MN, где М и N – середины сторон АВ и CD соответственно.

Решение

Поместим точку А в начало координат, т. е. А(0, 0, 0), тогда , , . Очевидно, что векторы и коллинеарны, следовательно, ВС и AD – основания трапеции.

Найдем координаты точек М и N: М, N(2; 3; 1). Длина отрезка МN.

№ 000 [4]. В базисе {} задан вектор . Найти координаты вектора в базисе {}, если