Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 4 )

Решение

Используя уравнение , имеем: . Угловой коэффициент искомой прямой найдем из условия, что угол между прямыми ; . Угловой коэффициент данной пря-мой . Если считать за первую прямую данную, а за вторую – искомую, то в формулу следует подставить , а вместо –коэффициент : , откуда . Уравнение искомой прямой: , или .

Считая за первую прямую искомую, а за вторую – данную, будем иметь: , откуда .

Уравнение искомой прямой , или .

№ 000 [4]. Даны вершины треугольника , и . Найти точку пересечения медиан этого треугольника.

Решение

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины.

Найдем точку – середину стороны : .

Определим точку , в которой пересекаются медианы, для этого разделим медиану в отношении . Абсцисса точки , ордината .

№ 000 [4]. Перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую, наклонен к оси абсцисс под углом и имеет длину 3. Найти нормированное уравнение этой прямой.

Решение

Искомое уравнение определяется стандартом: . По условию , , следовательно, , .

Окончательно получим: .

№ 000 [4]. Дан треугольник с вершинами , и . Найти уравнения его сторон.

Решение

Уравнение стороны АВ определяется стандартом: . Имеем: , или .

Точки и имеют одинаковые ординаты, следовательно, сторона параллельна оси абсцисс и уравнение ее имеет вид: . Точки и имеют одинаковые абсциссы, следовательно, сторона параллельна оси ординат и ее уравнение .

2.9.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 213, 217, 226, 236, 285, 314, 322(3), 355 [5].

2.9.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Виды уравнений плоскости».

Решить задачи № 000, 237, 253(4), 293, 303 [5].

2.10 Практическое занятие № 13. Виды уравнений плоскости

2.10.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Теорема. Если в пространстве заданы произвольная плоскость и прямоугольная система координат , то плоскость определяется в

этой системе уравнением первой степени

,

в котором и – произвольные постоянные, причем из чисел и хотя бы одно отлично от нуля.

Уравнение заведомо имеет по крайней мере одно решение , то есть существует хотя бы одна точка , координаты которой удовлетворяют уравнению:

Вычитая из уравнения тождество, получим уравнение:

,

определяющее плоскость, проходящую через точку , перпендикулярную вектору , называемому нормальным вектором плоскости.

Определение. Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1) , уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2) , уравнение определяет плоскость, параллельную оси ;

3) , уравнение определяет плоскость, параллельную оси ;

4) , уравнение определяет плоскость, параллельную оси ;

5) , уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ;

6) , уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ;

7) , уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ;

8) , уравнение определяет координатную плоскость ;

9) , уравнение определяет координатную плоскость ;

10) , уравнение определяет координатную плоскость .

Преобразуем общее уравнение следующим образом: . Полагая , получим уравнение плоскости «в отрезках»:

где параметры и геометрически определяют величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях и соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки и , посредством определителя выражается равенством:

Определение. Нормированным уравнением плоскости называется равенство

где – углы перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, с осями координат; – расстояние плоскости от начала координат.

Нормированное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при переменных являются координатами единичного вектора , перпендикулярного плоскости.

Общее уравнение приводится к нормированному виду умножением его на нормирующий множитель , знак которого выбирается противоположным знаку свободного члена уравне-
ния . С учетом геометрического смысла параметра в уравнении для нахождения расстояния от точки до плоскости применима формула

.

Если две плоскости и заданы общими уравнениями и , то угол между этими плоскостями определяется равенством

.

Условие параллельности плоскостей и выражается пропорцией: , а условие перпендикулярности – равенством: .

2.10.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси отрезок и перпендикулярной вектору .

Решение

По условию точка принадлежит искомой плоскости. Тогда уравнение данной плоскости имеет вид

, или .

№ 000 [4]. Составить уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .

Решение

Уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: . Подставив в уравнение координаты заданных точек плоскости, получим систему для определения коэффициентов уравнения: , т. е. , или .

№ 000 [4]. Установить, что плоскости с уравнениями и перпендикулярны.

Решение

Запишем нормальные векторы данных плоскостей: . Если плоскости перпендикулярны, то скалярное произведение . Имеем: .

№ 000 [4]. Найти расстояние от точки до плоскости , проходящей через точки и .

Решение

По формуле найдем уравнение плоскости: или , следовательно, искомое уравнение имеет вид: .

Расстояние от точки до плоскости определим с помощью формулы

=

2.10.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 921, 924(3), 926(1), 927(2), 928(2), 931, 944, 948, 953, 960 [5].

2.10.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Прямая в пространстве».

2.  Решить задачи № 000, 924(3), 925(3), 926(3), 928(3), 930 [5].

2.11 Практическое занятие № 14. Прямая в пространстве

2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Прямая линия в пространстве задается как пересечение двух плоскостей

при этом данные уравнения называют общими уравнениями этой прямой.

Если прямая проходит через точку параллель-
но направляющему вектору , то канонические уравнения прямой в пространстве определяются системой равенств

.

Вводя параметр , от канонических уравнений осуществляем переход к параметрическим:

Если прямая проходит через точки и , то в качестве направляющего вектора прямой принимается вектор . Тогда уравнения прямой примут вид

.

Для перехода от общих уравнений прямой к каноническим необходимо найти на прямой точку и направляющий вектор .

Углом между прямыми, заданными каноническими уравнениями и , является угол между направляющими векторами и , определяемый равенством:

.

В частности, если прямые и параллельны, то: . Если прямая перпендикулярна прямой , то справедливо равенство: .

2.11.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы , , и проходящей через точку .

Решение

В качестве направляющего вектора можно принять единичный вектор данной прямой. Его координатами являются направляющие косинусы: .

По формуле: найдем канонические уравнения: , или .

№ 000 [4]. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Решение

Чтобы записать канонические уравнения прямой, най-
дем: Искомое уравнение имеет вид: .

№ 000 [4]. Найти угол между прямыми и .

Решение

Направляющий вектор прямой определим по формуле

,

Тогда искомый угол

.

2.11.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 1007(2), 1015, 1022(2), 1024 [5].

2.11.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Плоскость и прямая в пространстве».

2.  Решить задачи № 000(3), 1008(3), 1023, 1025 [5].

2.12 Практическое занятие № 15. Плоскость

и прямая в пространстве

2.12.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Угол между прямой и плоскостью определяется с помощью формулы

.

В частности, если прямая параллельна плоскости, то справедливо равенство: , в случае перпендикулярности прямой и плоскости выполняется условие: .

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости уравнение прямой следует привести к параметрическим уравнениям

и подстановкой в уравнение плоскости определить параметр , соответствующий точке пересечения.

2.12.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. При каких значениях и прямая

и плоскость перпендикулярны?

Решение

Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно условию параллельности их векторов и . Соответствующие координаты этих векторов должны быть пропорциональными . Отсюда , .

№ 000 [4]. Составить уравнение плоскости, содержащей точку и прямую .

Решение

Из уравнения прямой известны координаты точки
на ней и направляющего вектора . Пусть –
текущая точка плоскости. Тогда векторы лежат
в одной плоскости, т. е. компланарны. Условие компланарности
векторов будет искомым уравнением: . Имеем:

, . Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим искомое уравнение: .

№ 000 [4]. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение

Приведем уравнение прямой к параметрическому виду, приравнивая параметр каждому из трех данных отношений: , , . Подставим и в уравнение плоскости , откуда получаем . Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты: , , .

2.12.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 1040, 1042, 1043, 1045, 1050, 1063, 1065, 1068 [5].

2.12.4 Домашнее задание

1.  Подготовиться к контрольной работе.

2.  Решить задачи № 000, 1068, 1072, 1079 [5].

2.13 Практическое занятие № 16. Контрольная работа

Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Канонические формы уравнений окружности и эллипса».

2.14 Практическое занятие № 17. Канонические формы

уравнений окружности и эллипса

2.14.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если начало координат прямоугольной системы координат на плоскости есть середина отрезка , длина которого равна , и фокусы и расположены на оси абсцисс, то каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где параметры и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса, причем (рисунок 1).

Если параметры и равны между собой, то уравнение определяет окружность радиуса с центром в начале координат.

Рисунок 1

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется величина , характеризующая меру вытянутости эллипса.

Определение. Директрисой эллипса, отвечающей фокусу , называется прямая, расположенная в полуплоскости перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра. В выбранной системе координат уравнения директрис имеют вид: .

2.14.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой .

Решение

На чертеже изображена заданная в условии прямая, она пересекает координатные оси в точках , .