Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 5 )

1) Центром окружности является точка – середина отрезка . Координаты этой точки определим по формулам деления отрезка пополам: ,

.

2) Радиус , .

3) Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид: .

№ 000 [4]. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось 10.

Решение

Из условия и по формуле находим значение параметра . Подставляя и в каноническое уравнение, имеем: .

№ 000 [4]. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку и имеющего эксцентриситет .

Решение

Имеем систему уравнений относительно параметров , , :

Из второго уравнения находим: , т. е. , или . Подставляя это значение в первое уравнение, получим , тогда , . Уравнение эллипса: .

2.14.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000(4, 6), 386, 397(5), 403, 432, 444(3, 4, 5), 446(3, 4), 450, 464, 465(6), 471(1), 473(2) [5].

2.14.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Канонические формы уравнений гиперболы и параболы».

2.  Решить задачи № 000, 397(10), 444(6), 446(4), 464 [5].

2.15  Практическое занятие № 18. Канонические формы

уравнений гиперболы и параболы

2.15.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс симметрично началу координат, то каноническое уравнение гиперболы имеет вид: , где параметр называется действительной полуосью, параметр – мнимой полуосью, а длина отрезка , причем (рисунок 2).

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина , характеризующая значение угла между асимптотами гиперболы, которыми являются диагонали прямоугольника с вершинами .

=

Рисунок 2

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: .

Определение. Директрисой гиперболы, отвечающей фокусу , называется прямая, расположенная в полуплоскости перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от ее центра.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: .

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, расположенной в рассматриваемой плоскости. При этом точка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Если начало системы координат является серединой отрезка , представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса на директрису, то каноническое уравнение параболы имеет вид: , где – расстояние от фокуса до директрисы.

2.15.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку .

Решение

По условию , следовательно, . Подставляя в каноническое уравнение координаты точки и параметр , получим систему уравнений: ó ó

Подставив в уравнение найденные значения, получим: .

№ 000 [4]. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями , а расстояние между фокусами равно 20. Найти каноническое уравнение гиперболы.

Решение

Асимптоты гиперболы определяются стандартом: , тогда . По условию , откуда . Так как для гиперболы то для нахождения значений и получим систему уравнений:

Решая ее, найдем , . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид: .

№ 000 [4]. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Найти ее уравнение.

Решение

Так как парабола симметрична относительно оси , то ее
уравнение определяется стандартом: . Подставив координаты точки , определим . Следовательно, искомое уравнение .

№ 000 [4]. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы .

Решение

Расстояние директрисы от начала координат равно , следовательно, . Уравнение параболы имеет вид: .

2.15.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000(4), 518(4), 523, 532(2), 541(3), 583(2, 3), 589, 593 [5].

2.15.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Поверхности второго порядка».

2.  Решить задачи № 000(4), 522, 528, 590 [5].

2.16 Практическое занятие № 19. Поверхности второго порядка

2.16.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Рассмотрим канонические уравнения поверхностей.

2.16.1.1 Сфера радиуса с центром в точке O(0, 0, 0) (рису-
нок 3): .

2.16.1.2 Эллипсоид с полуосями (рисунок 4): .

Однополостный гиперболоид (рисунок 5): .

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Двуполостный гиперболоид (рисунок 6): .

Эллиптический параболоид (рисунок 7): .

Гиперболический параболоид (рисунок 8): .

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Конус (рисунок 9): .

Цилиндры:

а) эллиптический (рисунок 10): .

Рисунок 9

Рисунок 10

б) гиперболический (рисунок 11): .

в) параболический (рисунок 12): .

Рисунок 11

Рисунок 12

Преобразование общего уравнения поверхности второго порядка

к каноническому виду производят следующим образом:

а) находят то линейное ортогональное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму старших членов уравнения к сумме квадратов, и выполняют в уравнении соответствующую замену. В результате этого преобразования из уравнения исчезают члены с произведениями координат;

б) производя после этого параллельный перенос новых осей координат, приводят уравнение к требуемому каноническому виду.

2.16.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Привести к каноническому виду уравнение поверхности .

Решение

Выделим полные квадраты по

,

или .

Отсюда

.

Полученное уравнение есть уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещен в точку .

При помощи замены: получим:

№ 000 [4]. Привести к каноническому виду уравнение поверхности .

Решение

Матрица старших членов уравнения имеет вид:

Собственные числа матрицы определяются из уравнения

,

которое приводится к виду отсюда находим , , .

При получаем систему

Значению соответствует вектор , нормируя, получим:

При получаем систему

Отсюда второй собственный нормированный вектор:

При получаем систему

Третьим нормированным собственным вектором служит:

Находим матрицу преобразования: .

Отсюда формулы преобразования координат

Подставив выражения для в уравнение поверхности, после упрощений получим:

.

Перепишем уравнение в виде

что после дополнения выражений в скобках до полных квадратов дает

Произведя параллельный перенос по формулам:

и разделив уравнение на 24, приходим к каноническому уравнению эллипсоида:

2.16.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000(1–5), 1086, 1153, 1155, 1160 [5], 426, 427 [3].

2.17 Практические занятия № 20–21. Комплексные числа

2.17.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Определение. Комплексным числом называют выражение вида
z = a + ib, где a и b – действительные числа; i – мнимая единица, удовлетворяющая равенству i2 = –1.

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической, причем a – вещественная часть, b – мнимая часть, что записывается так: a = Rez, b = Imz.

Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c = d.

Комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого выбирают систему декартовых координат a, b, после чего любое комп-

лексное число z = a + ib изображается точкой М(a, b). Такая плоскость называется комплексной плоскостью (рисунок 13). Вещественные числа являются частным случаем комплексных, если положить b = 0. Они изображаются точками на вещественной оси, то есть ОХ. Если у комплексного числа отсутствует действительная часть (a = 0), то оно называется чисто мнимым и изображается на мнимой оси, т. е. оси ОY.

Очень важной является интерпретация комплексного числа
z = a + ib как вектора с координатами (a; b) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b) (рисунок 14).

На комплексной плоскости часто рассматриваются также полярные ко- ординаты ρ и φ точки М(a, b). Они называются модулем и аргументом комп-лексного числа z и обозначаются ρ = |z|, φ = argz. Связь между модулем и аргументом комплексного числа z и его действи-тельной и мнимой частями устанавлива-ются равенствами:

или

Тригонометрическая форма комплексного числа

.

Заданием своего модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg z ≤ π. Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1.  Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i(b + d).

2.  Разностью двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a – c + i(b – d).

3.  Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bс).

4.  Частным двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число .

Действия над комплексными числами и в тригонометрической форме:

1.  .

2.  .

3.  Формула Муавра: .

4.  , где .

2.17.2 Примеры решения задач

1. Вычислить: z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i.

Решение

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Решение

Так как Rez = –1 и Imz = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.

.

Для определения аргумента решим систему

3. Вычислить .

Решение

4. Решить уравнение: , если .

Решение

Запишем уравнение в виде . Выполнив деление, представим число (-а) сначала в алгебраической форме:

Выразим число в тригонометрической форме

,

поэтому

, где .

Получаем четыре корня:

при ,

при ,

при ,

при .

2.17.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания:

1) Вычислить: .

2) Найти значение: , если , и изобразить и на комплексной плоскости.

3) Найти: ,, если ,.

4) Найти: , если , .

5) Найти: , если:

а) , ;

б) , .

6) Найти:

а) ;

б) , если ,;

в) , если ,.

7) Вычислить: .

8) Вычислить: , , если , .

9) Найти модули и аргументы чисел: , .

10) Выполнить операции и представить в алгебраической форме:

а) ;

б) .

11) Вычислить: , , если , .

12) Какие множества точек плоскости задаются условиями:

а) ;

б) ;

в) ?

13) Найти действительные решения уравнения:

а) ;

б) .

14) Решить уравнения:

а) ;

б) .

15) Представить в тригонометрической форме: и выполнить действия: , , , .

16) Представить в тригонометрической форме и показательной форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Выполнить действия: , , , .

17) Вычислить: .