Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 3 )

Решение

Разрешим систему относительно :

Исключая переменную величину , сложим второе и третье уравнения: . На втором этапе умножим почленно третье уравнение на коэффициент 2 и сложим с первым, окончательно имеем систему уравнений или

Следовательно, и разложение вектора опре-деляется равенством: .

2.5.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 765, 770, 777, 781, 782, 775(6), 787, 793 [5].

2.5.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Скалярное и векторное произведения векторов».

2. Решить задачи № 63(2), 65, 70, 763, 768, 775(3), 783 [5].==

2.6 Практическое занятие № 8. Скалярное и векторное

произведения векторов. Угол между векторами

2.6.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение двух векторов обозначается символом: .

Теорема. Если векторы определены своими прямоугольными координатами , , то их скалярное произведение определяется формулой: .

Замечание. Посредством скалярного произведения угол
между векторами определяется с помощью равенства

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) два ненулевых вектора и ортогональны, если .

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где – угол между векторами и ;

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) , где , только в случае коллинеарности векторов и ;

3) ;

4) .

Замечание. Если два вектора и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть .

Для выражения векторного произведения векторов и в прямоугольных координатах используют определитель третьего порядка: .

2.6.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Векторы и таковы, что и перпендикулярны. Найти , если .

Решение

Найдем скалярное произведение векторов и , на основании условия ортогональности приравняем его нулю: , , , , .

№ 000 [4]. Найти угол φ между векторами и , если и .

Решение

Находим координаты векторов и : , т. е. , , или . Вычислим длины векторов и и их скалярное произведение: и , . Находим: .

Следовательно, угол между векторами и равен 45°.

№ 000 [4]. Найти, при каких значениях m и n векторы и коллинеарны.

Решение

Условием коллинеарности векторов является пропорцио-нальность их соответствующих координат, т. е. выполнение равенства

.

Отсюда находим значения m и n: , .

№ 000 [4]. Найти угол, который образует с осью Ох вектор .

Решение

Вычислим скалярное произведение вектора с координатным вектором : . Длина координатного вектора равна 1, вычисляем длину вектора : . Находим косинус угла φ между векторами и : .

Таким образом, .

№ 000 [4]. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках , , .

Решение

Найдем координаты векторов , , тогда .

Искомая площадь

.

2.6.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 753, 758, 760, 795(5), 808, 816, 817, 820, 824, 837, 840, 852, 855, 858, 860 [5].

2.6.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Смешанное произведение векторов. Собственные числа и собственные векторы».

2.  Решить задачи № 000, 819, 823, 824, 837, 839, 841 [5].

2.7 Практическое занятие № 9. Смешанное произведение векторов. Собственные числа и собственные векторы

2.7.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Определение. Смешанным произведением трех векторов () называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор и обозначаемое символом .

Геометрически модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов есть объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) для того чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю;

2) для любых векторов справедливо равенство: .

Теорема. Если три вектора определены координатами , , , то смешанное произ-ведение равняется определителю, строки которого со-
ответственно равны координатам векторов сомножителей, то есть: .

Определение. Характеристическим уравнением матрицы называется равенство вида: .

Корни уравнения называются собственными числами матрицы.

Система уравнений

определяет при тройку чисел – координат собственного вектора матрицы.

2.7.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение

Искомый объем . Поскольку , то .

№ 000 [4]. Показать, что векторы , , компланарны.

Решение

Находим смешанное произведение векторов .

Так как , то данные векторы компланарны.

№ 000 [4]. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение

Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид ,

или

или
или , , .

Итак, данная матрица имеет три собственных значения: , , .

Собственный вектор , соответствующий , определяется из системы:

Следовательно, первый собственный вектор

Второй собственный вектор , соответствующий , определяется из системы:

Следовательно, второй собственный вектор .

Третий собственный вектор , соответствующий , определяется из системы:

Следовательно, третий собственный вектор .

Полагая , получим ответ.

Ответ: , , ;

, , .

2.7.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 873, 877 [5], 407, 408, 419 [6].

2.7.4 Домашнее задание

1. Подготовиться к контрольной работе.

2. Решить задачи № 000, 867, 874(1), 878 [5].

2.8 Практическое занятие № 10. Контрольная работа

2.8.1 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Виды уравнений прямой на плоскости».

2.9 Практические занятия № 11–12. Виды уравнений

прямой на плоскости

2.9.1 Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач

Теорема. Если на плоскости задана произвольная прямая линия и фиксирована произвольная прямоугольная система , то прямая определяется в этой системе уравнением первой степени: , где – постоянные величины, причем из чисел и хотя бы одно отлично от нуля. Уравнение заведомо имеет
по крайней мере одно решение , то есть существует хотя бы одна точка , координаты которой удовлетворяют уравнению: .

Вычитая из уравнения тождество, получим уравнение:

определяющее прямую , проходящую через точку и перпендикулярную вектору , называемому нормальным вектором данной прямой.

Определение. Общее уравнение прямой называется полным, если его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1) , уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) , уравнение определяет прямую, параллельную оси ;

3) , уравнение определяет прямую, параллельную оси ;

4) , уравнение определяет ось ;

5) , уравнение определяет ось .

Перепишем общее уравнение в виде и введем обозначения: , , тогда в уравнении , называемом уравнением прямой в «отрезках», числа и геометрически равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях и соответственно.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку
и имеющей заданный направляющий вектор , определяется
равенством: которое называют каноническим уравне-нием прямой. Если прямая проходит через две заданные точки и , то ее каноническое уравнение имеет вид: ,

так как за направляющий вектор можно принять вектор .

Введением параметра в уравнение получим параметрические уравнения прямой: , следовательно,

Определение. Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла наклона этой прямой к оси .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент , имеет вид: . Обозначая постоянную величину , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде:

Если две прямые и заданы общими уравнениями и , то угол между ними оп-ределяется с помощью формулы

Условие параллельности прямых и заключается в пропорциональности коэффициентов уравнений: , а условие перпендикулярности прямых выражается равенством: .

Если две прямые и заданы каноническими уравнениями: и , то угол между ними определяется с помощью формулы

Условие параллельности прямых и определяется пропорцией: , а условие перпендикулярности прямых выражается равенством: .

Если две прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом и , то угол между ними определяется с помощью формулы .

Условие параллельности прямых и определяется равенством: , а условие перпендикулярности прямых выражается отношением: .

Если точка лежит на прямой, проходящей через данные точки , , и делит отрезок в отношении , то координаты точки определяются по формулам:

В частности, если точка делит отрезок пополам, то формулы принимают вид

Если положение прямой относительно осей координат определять длиной перпендикуляра , опущенного из начала координат на прямую, и углом , образуемым этим перпендикуляром с положительным направлением оси абсцисс, то уравнение прямой имеет вид: .

Уравнение данного вида называется нормированным.

Всякое уравнение прямой общего вида может быть приведено к нормированному виду умножением всех его членов на нормирующий множитель , определяемый по формуле:

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.

С учетом геометрического смысла параметра в уравнении для нахождения расстояния от точки до прямой применяется формула: .

2.9.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Дана прямая . Найти уравнение прямой, проходящей через точку и образующей угол с данной прямой.