Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 7 )

Решение

– уравнение касательной,

,

– уравнение нормали.

№ 000 [4]. Найти производную -го порядка для функции:

Решение

№ 000 [4]. Найти производную функции: .

Решение

Применим параметрическое задание данной кривой:

, x2=a2cos2t, ,

2.22.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 593, 604, 608, 618, 623, 632, 657, 668, 671, 692, 707, 710 [5].

2.22.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Правило Лопиталя. Формула Тейлора».

2.  Выполнить задания: № 000, 596, 598, 611, 694, 620, 708 [7].

2.23 Практическое занятие № 30. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора

 

2.23.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Теорема Тейлора

1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно;

2) пусть х – любое значение из этой окрестности, но х ¹ а, тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула

Это выражение называется формулой Тейлора, а выражение

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при условии, что а = 0.

.

Представление элементарных функций по формуле Тейлора:

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует, т. е.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т. д., пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции, в свою очередь, удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида y = [ f(x)]g(x), f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

2.23.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Вычислить значение sin 20°.

Решение

Предварительно переведем угол 20° в радианы: 20° = p/9. Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

№ 000[4]. Вычислить значение ln 1,5.

Решение

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

; ;

.

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

; ;

;

;

;

; ;

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда

Следовательно, .

2.23.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 778, 781, 784, 787, 789, 799, 802, 804, 806 [5].

2.23.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции, его признаки. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках. Выпуклость функции, точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема построения графика функции».

2. Выполнить задания: № 000, 788, 803, 807, 808 [7].

контрольной работе.

2. Выполнить задания: № 000, 1009, 1013, 1026, 2091, 2093, 2095, 2097, 2101, 2102 [7].

2.26 Практическое занятие № 34. Контрольная работа
по теме «Производные»

3 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ

Занятия № 1–5, 7–9, 11–15, 17–25 и 27–33 проходят в следующем порядке:

1)  формулируется тема занятия, поясняется связь темы с другими темами учебной дисциплины;

2)  проверяется готовность студентов к занятию;

3)  занятие проводится согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины.

На занятиях № 6, 10, 16, 26, 34 студентам предлагается решить контрольные работы.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Бугров, линейной алгебры и аналитической геометрии / , . – М.: Наука, 2002.

2.  Беклемишев, аналитической геометрии и линейной алгебры / . – М.: Наука, 2000.

3.  Данко, математика в упражнениях и задачах /
, . – М.: Высшая школа, 2003.

4.  Сборник задач по математике / под ред. , -гова. – М.: Наука, 1999.

5.  Сборник задач по аналитической геометрии / под ред. -мова. – М.: Наука, 2001.

6.  Бугров, и интегральное исчисления / , . – М.: Наука, 1999.

7.  Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. . – М.: Наука, 2006.

Учебное издание

Тушкина Татьяна Михайловна

Ростова Ольга Дмитриевна

Кувшинова Лидия Павловна

МАТЕМАТИКА

В четырёх частях

Часть первая

Линейная и векторная алгебра.

Аналитическая геометрия.

Введение в математический анализ.

Дифференциальное исчисление

функции одной переменной

Методические рекомендации по проведению
практических занятий для студентов специальностей
151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы
и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные системы и технологии»

Редактор

Технический редактор

Подписано в печать 20.02.12. Формат 60´84 1/16

Усл. п. л. 5,70. Уч.-изд. л. 6,13

Печать – ризография,

множительно-копировальный аппарат «RISO ЕZ300»

Тираж 54 экз. Заказ 2012-14

Издательство Алтайского государственного

технического университета

г. Барна

Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

7

 

МАТЕМАТИКА. В четырёх частях

Часть1 Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Методические рекомендации по проведению практических занятий для студентов специальностей 151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные системы и технологии»

Бийскö2012