Математика в четырёх частях. Часть первая. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 6 )

18) Решить уравнение: .

19) Вычислить: , если

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

20) Представить числа , в показательно форме и выполнить действия:

а) ;

б) .

2.17.4 Домашнее задание

1.  Изучить теоретический материал по теме «Предел числовой
последовательности. Предел функции. Сравнение бесконечно малых. Свойства пределов. Первый замечательный предел».

2.  Выполнить задания:

1)  Выполнить действия и представить результаты в алгебраической форме:

а) ;

б) .

2) Какие множества точек плоскости задаются условиями:

а) ;

б) ;

в) ?

3) Найти значение комплексного числа и изобразить на комплексной плоскости .

4) Найти действительную и мнимую части комплексного числа и изобразить на комплексной плоскости: .

5) Решить уравнение: .

6) Найти модули и аргументы чисел и представить в тригонометрической форме

, , , , .

7) Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.18 Практические занятия № 22–23. Предел числовой последовательности. Предел функции. Сравнение бесконечно малых. Свойства пределов. Первый замечательный предел

2.18.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено
в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие

В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходится к а при n®¥.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая;

2) если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая;

3) если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая;

4) если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х, удовлетворяющих 0 < ïx – aï < D, верно неравенство ïf(x) – Aï< e.

Запись предела функции в точке: .

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (рисунок 15).

Рисунок 15

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, удовлетворяющих условиюïхï>M, выполняется неравенство:

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают:

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы в предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2. .

Теорема 3. .

Следствие. .

Теорема 4. при .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Свойства бесконечно малых функций:

1)  сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а есть бесконечно малая функция при х®а;

2)  произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а есть бесконечно малая функция при х®а;

3)  произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а, является бесконечно малой функцией при х®а;

4)  частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А= ¥.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)®0 при х®а и не обращается в нуль, то .

Пусть a(х) и b(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a и b соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

Определение. Если , то функции a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

Рассмотрим предел

, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm – многочлены.

.

.

Итак,

Первый замечательный предел: .

2.18.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

№ 000 [4]. Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

№ 000 [4]. Вычислить предел числовой последовательности:

.

Решение

№ 000 [4]. Сравнить бесконечно малые функции f(x) = x10 и
у(x) = x при х®0.

Решение

т. е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем у(x) = x.

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на

.

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2),

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3),

тогда .

№ 000 [4]. Найти предел:

Решение

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

.

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

№ 000 [4]. Найти предел:.

Решение

№ 000 [4]. Найти предел:.

Решение

2.18.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 173, 175, 178, 179, 180, 183, 185, 187, 189, 191, 195, 197, 203, 207, 217, 219, 222, 226, 230 [5].

2.18.4 Домашнее задание

1) Изучить теоретический материал по теме «Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация».

2) Выполнить задания: № 000(а, б, в, г), 174, 177, 180, 182, 184, 186, 190, 204, 206, 208, 218, 220, 221, 224, 228, 231 [7].

2.19 Практические занятия № 24–25. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

Точки разрыва функции и их классификация

2.19.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Второй замечательный предел: .

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

.

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Свойства непрерывных функций:

1) сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций есть функция, непрерывная в точке х0;

2) частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0;

3) суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

2.19.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти предел:

Решение

№ 000 [4]. Найти предел:

Решение

№ 000 [4]. Найти предел:

Решение

№ 000 [4]. Найти предел: .

Решение

№ 000 [4]. Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: а) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; б) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; в) сделать схематический чертеж.

Решение

Для точки имеем:

т. е. в точке функция терпит бесконечный разрыв ( – точка разрыва второго рода).

Для точки имеем:

.

В точке функция непрерывна.

Выполняем схематический чертеж.

№ 000 [4]. Задана функция

Требуется найти точки разрыва функции, если они существуют.

Решение

Функция определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв может быть лишь в точках и .

Для точки имеем:

т. е. функция в точке имеет разрыв первого рода.

Для точки имеем:

т. е. в точке функция имеет разрыв первого рода.

№ 000 [4]. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва (если они есть)

Решение

в точке х = –1 функция непрерывна, в точке х = 1 разрыв первого рода.

№ 000 [4]. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва (если они есть)

Решение

В точке х = 0 функция непрерывна, в точке х = 1 – разрыв первого рода.

2.19.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 255, 257, 317, 319, 322, 325, 327,
328 [5].

2.19.4 Домашнее задание

1. Подготовиться к контрольной работе.

2. Выполнить задания: № 000, 256, 320, 321, 323, 326 [7].

2.20  Практическое занятие № 26. Контрольная работа

2.20.1 Домашнее задание

Изучить теоретический материал по теме «Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Производная сложной и обратной функций».

2.21 Практические занятия № 27–28. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Производная сложной и обратной функций

2.21.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует (рисунок 16):

.

Рисунок 16

Физический смысл производной функции f(t), где t – время, f(t) – закон движения (изменения координат), заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движения. Соответственно, вторая производная функции определяет скорость изменения скорости, т. е. ускорение.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке
х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует:

;

.

Если f(x) = u, g(x) = v – функции, дифференцируемые в точке х, то:

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢;

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v;

3), если v ¹ 0 .

Производные основных элементарных функций приведены ниже.

1) С¢ = 0;

2) (xm)¢ = mxm-1;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) .

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Из определения следует, что dy = f¢ (x)Dx или dy = f¢ (x)dx.

Геометрический смысл дифференциала поясняется рисунком 17.

Рисунок 17

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx.

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Теорема. Пусть y = f(и); u = g(x), тогда .

Производная обратной функции обратна по величине производной данной функции, т. е.

.

2.21.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти производную функции:

Решение

№ 000 [4]. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой , если.

Решение

– уравнение нормали,

№ 000 [4]. Найти дифференциал , если

Решение

№ 000 [4]. Найти производную функции

Решение

№ 000 [4]. Найти производную функции: .

Решение

№ 000 [4]. Найти производную функции

Решение

№ 000 [4]. Найти производную функции

Решение

2.21.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания: № 000, 371, 379, 382, 383, 394, 401–404, 411, 414, 415 [5].

2.21.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших по­рядков».

2. Выполнить задания: № 000, 377, 385, 389, 440, 443 [7].

2.22 Практическое занятие № 29. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков

2.22.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание, и показатель степени зависят от переменной, то функция является показательно-степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точ-ке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv.

Логарифмируя, получим:

lny = vlnu; ;

; .

Если функция задана посредством уравнения вида F (х, у)=0, то говорят, что она задана неявно. Продифференцировав по х обе части уравнения, получим уравне­ние первой степени относительно производной у'. Из этого уравнения находится значение у', т. е. производная неявной функции для всех значений х и у, при которых множитель при производной у' в уравнении не обращается в нуль.

Задание функции системой равенств

называется параметрическим. Производные в этом случае определяются формулами

; ; и т. д.

2.22.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти производную функции

.

Решение

По полученной выше формуле имеем:

Производные этих функций:
окончательно

№ 000 [4]. Найти , если .

Решение

Дифференцируя уравнение по переменной , имеем:

.

Разрешая полученное уравнение относительно , получим: .

№ 000 [4]. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Дифференцируем по переменной х

, откуда .

№ 000 [4]. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

Решение

.

№ 000 [4]. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра :