МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Бийский технологический институт (филиал)
федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Алтайский государственный технический
университет им. »
, ,
МАТЕМАТИКА
в четырёх частях
Часть первая
Линейная и векторная алгебра.
Аналитическая геометрия.
Введение в математический анализ.
Дифференциальное исчисление
функции одной переменной
Методические рекомендации по проведению
практических занятий для студентов специальностей
151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы
и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных
и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные системы и технологии»
Бийск
Издательство Алтайского государственного технического
университета им.
УДК 517
Рецензент: | , к. т.н., профессор кафедры МРСиИ |
Тушкина, Т. М.
Математика. В 4 ч. Ч. 1. Линейная и векторная алгебра. Ана- |
В методических рекомендациях сформулированы цели и задачи практических занятий по курсу «Математика», приведены тематика практических занятий, краткие теоретические сведения, раскрывающие сущность изучаемых тем курса, примеры решения основных типов задач, даны рекомендации студентам по подготовке к занятиям.
УДК 517
Рассмотрены и одобрены
на заседании кафедры высшей
математики и математической физики.
Протокол № 7 от 01.01.2001 г.
© , , , 2012 | |||
© БТИ АлтГТУ, 2012 |
СОДЕРЖАНИЕ
1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» 5
2 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ.. 5
2.1 Практические занятия № 1–2. Действия с матрицами. 7
2.2 Практическое занятие № 3. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей высших порядков. Обратная матрица. 11
2.3 Практические занятия № 4–5. Системы линейных уравнений. Матричный способ, правило Крамера. Метод Гаусса 15
2.4 Практическое занятие № 6. Контрольная работа. 18
2.5 Практическое занятие № 7. Линейные операции над векторами. Преобразование координат вектора при изменении базиса. 19
2.6 Практическое занятие № 8. Скалярное и векторное произведения векторов. Угол между векторами 24
2.7 Практическое занятие № 9. Смешанное произведение векторов. Собственные числа и собственные векторы 27
2.8 Практическое занятие № 10. Контрольная работа. 30
2.9 Практические занятия № 11–12. Виды уравнений прямой на плоскости 31
2.10 Практическое занятие № 13. Виды уравнений плоскости. 37
2.11 Практическое занятие № 14. Прямая в пространстве. 41
2.12 Практическое занятие № 15. Плоскость и прямая в пространстве 43
2.13 Практическое занятие № 16. Контрольная работа. 45
2.14 Практическое занятие № 17. Канонические формы уравнений окружности и эллипса 45
2.15 Практическое занятие № 18. Канонические формы уравнений гиперболы и параболы 48
2.16 Практическое занятие № 19. Поверхности второго порядка. 51
2.17 Практические занятия № 20–21. Комплексные числа. 56
2.18 Практические занятия № 22–23. Предел числовой последовательности. Предел функции. Сравнение бесконечно малых. Свойства пределов. Первый замечательный предел. 62
2.19 Практические занятия № 24–25. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. 69
2.20 Практическое занятие № 26. Контрольная работа. 73
2.21 Практические занятия № 27–28. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Производная сложной и обратной функций 74
2.22 Практическое занятие № 29. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков. 78
2.23 Практическое занятие № 30. Правило Лопиталя. Формула Тейлора 81
2.24 Практические занятия № 31–32. Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции, его признаки. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках. Выпуклость функции, точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема построения графика функции. 85
2.25 Практическое занятие № 33. Дифференциал дуги, кривизна. Векторная функция скалярного аргумента. Сопровождающий трехгранник кривой. 91
2.26 Практическое занятие № 34. Контрольная работа по теме «Производные» 96
3 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ.. 96
ЛИТЕРАТУРА.. 97
1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО дисциплине «Математика»
В первом семестре студенты специальностей 151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные системы и технологии» изучают следующие разделы математики: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Практические занятия способствуют закреплению теоретических знаний и приобретению навыков решения геометрических и алгебраических задач, задач математического анализа. Целью практических занятий является развитие творческого потенциала, познавательной деятельности и самостоятельности мышления студентов при изучении дисциплины «Математика».
Задачами практических занятий являются:
· закрепление знаний студентов по дисциплине для использования в инженерной практике и обоснования используемых на практике алгоритмов;
· обучение студентов основным методам дисциплины;
· приобретение студентами умений и навыков математического исследования прикладных вопросов;
· изучение и анализ литературных источников по дисциплине «Математика».
2 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ
В таблице 1 представлены темы практических занятий и их объем.
Таблица 1 – Темы практических занятий
Темы практических занятий | Объем, ч |
1 | 2 |
1–2 Действия с матрицами | 4 |
3 Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей высших порядков. Обратная матрица | 2 |
4–5 Системы линейных уравнений. Матричный способ, правило Крамера. Метод Гаусса | 4 |
6 Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений» | 2 |
Продолжение таблицы 1
1 | 2 |
7 Линейные операции над векторами. Преобразование координат вектора при изменении базиса | 2 |
8 Скалярное и векторное произведения векторов. Угол между векторами | 2 |
9 Смешанное произведение векторов. Собственные числа и собственные векторы матрицы преобразования | 2 |
10 Контрольная работа по теме «Векторы» | 2 |
11–12 Виды уравнений прямой на плоскости | 4 |
13 Виды уравнений плоскости | 2 |
14 Прямая в пространстве | 2 |
15 Плоскость и прямая в пространстве | 2 |
16 Контрольная работа по теме «Прямая и плоскость» | 2 |
17 Канонические формы уравнений окружности и эллипса | 2 |
18 Канонические формы уравнений гиперболы и параболы | 2 |
19 Поверхности второго порядка | 2 |
20–21 Комплексные числа | 4 |
22–23 Предел числовой последовательности. Предел функции. Сравнение бесконечно малых. Свойства пределов. Первый замечательный предел | 4 |
24–25 Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация | 4 |
26 Контрольная работа по теме «Пределы» | 2 |
27–28 Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Производная сложной и обратной функций | 4 |
29–30 Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков | 4 |
31 Правило Лопиталя. Формула Тейлора | 2 |
32 Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции, его признаки. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках. Выпуклость функции, точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема построения графика функции | 4 |
33 Дифференциал дуги, кривизна. Векторная функция скалярного аргумента. Сопровождающий трехгранник кривой | 2 |
34 Контрольная работа по теме «Производные» | 2 |
2.1 Практические занятия № 1–2. Действия с матрицами
2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
Определение. Матрицей размера 
называется совокупность 
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из 
строк и 
столбцов.
Определение. Матрица размера 
называется матрицей-строкой.
Определение. Матрица размера 
называется матрицей-столбцом.
Определение. Матрица размера 
называется квадратной матрицей порядка .
Определение. Числа, из которых состоит матрица, называют ее элементами.
Для записи матрицы в общем виде используют символ 
, 
указывает номер строки, 
– номер столбца, в которых содержится элемент.
Определение. Матрицы 
и 
размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы, то есть 
для всех 
.
Определение. Суммой матриц и размера называется матрица 
размеров , каждый элемент которой определяется равенством: 
для всех .
Сложение матриц имеет обратную операцию – вычитание, то есть для каждой из матриц и размеров 
существует единственная матрица размера такая, что 
. Матрица С называется разностью матриц и и обозначается следующим образом: 
.
Определение. Произведением матрицы размера на число 
называется матрица размера , элементы которой получены умножением соответствующих элементов 
на число .
Определение. Произведением матрицы размера 
на матрицу размера 
называется матрица размера , каждый элемент 
которой равен произведению элементов 
-й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы , то есть 
.
Операция умножения обладает свойствами:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Операция умножения матриц соответствующим образом распространяется на случай нескольких сомножителей. В силу определения произведения матриц умножать матрицу на себя можно только в том случае, если она является квадратной.
Определение. Квадратная матрица порядка
,
у которой элементы 
для всех 
, а остальные равны нулю, называется единичной матрицей порядка .
Определение. Транспонированием матрицы называется перемена ролями строк и столбцов с сохранением их номеров.
Транспонированную матрицу принято обозначать символом 
.
Укажем свойства операции транспонирования:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
, где 
– постоянная величина;
5) 
.
2.1.2 Примеры решения задач
№ 000 [4]. Транспонировать матрицу 
.
Решение
.
№ 000 [4]. Найти: 
, если 
, 
.
Решение
№ 000 [4]. Найти значение матричного многочлена 
при 
, если 
– единичная матрица третьего порядка.
Решение
,
, 
,
,
.
2.1.3 Задачи для самостоятельного решения
1) Найти: 
, если
.
2) Найти: 
, если 
.
3) Найти: 
, если 
.
4) Найти: 
, где 
.
5) Найти: 
.
6) Найти: 
.
7) Решить уравнение: 
.
8) Решить уравнение: 
.
9) Вычислить: 
.
10) Решить неравенство: 
.
2.1.4 Домашнее задание
1. Изучить теоретический материал по теме «Определители и их основные свойства. Обратная матрица».
2. Решить задачи № 000 (b, c), 220 (c, f), 223 (a, b), 400 (c, d, f ) [6].
Выполнить задания:
1) Решить неравенство: 
.
2) Найти: 
.
3) Найти: 
.
4) Решить уравнение: 
.
5) Найти: 
, если
.
6) Найти: 
, если
.
2.2 Практическое занятие № 3. Разложение определителя
по строке или столбцу. Вычисление определителей
высших порядков. Обратная матрица
2.2.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
.
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число: 
, которое обозначается одним из символов 
.
Укажем основные свойства определителя:
1) определитель квадратной матрицы равен определителю ее транспонированной матрицы ;
2) при перестановке столбцов (или строк) определитель изменит знак на противоположный;
3) если все элементы столбца (или строки) равны нулю, то определитель равен нулю;
4) определитель, имеющий два одинаковых столбца (или строки), равен нулю;
5) если все элементы одного столбца (или строки) определителя умножить на одно и то же число , то определитель изменится в раз;
6) определитель, у которого элементы двух столбцов (или строк) соответственно пропорциональны, равен нулю;
7) определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
.
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число
.
Определение. Минором любого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, соответствующий матрице, полученной из данной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Минор элемента принято обозначать 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
