Применение математического моделирования для оптимизации мебельного производства (стр. 10 )

r-ого размера, равное , а из всех m листов вывесок r-ого размера будет .

Отношение zr/kr определяет количество рекламных вывесок, которое можно составить из листов пластика ПВХ r-ого размера. Число полных комплектов рекламных щитов всех размеров определяется наименьшим из этих соотношений. Для соблюдения полной комплектности должно быть выполнено равенство z1/k1 = z2/k2 = ... = zp/kp.

Каждое отношение выразим через одно, например через первое

zr/kr = z1/k, т. е. zr=kr. z1/k1, ( z=1,…,p).

Заменим zr и z1 их значениями и получим (p – 1) – ограничение по комплектности:

Находим ограничения по ресурсам для m размеров листов пластика ПВХ.

Найдём при ограничениях

xij – целые числа.

Рисунок1 Продмаг Рисунок 2 Рублёвский

Составим математическую модель нахождения оптимального плана выпуска рекламной продукции для компании «Advertising to retail». Требуется найти оптимальный план по использованию листов пластика ПВХ для компании «ADR». Компания закупает листы пластика ПВХ размером 3×2,5 м2. Их нужно раскроить на рекламные вывески размером: 3×1,8 м2, 2 ×2,7 м2, 1,5 ×0,6 м2, 1 ×0,5м2 (см. рис. 1, 2, 3, 4).

Рисунок 3 Евроаптека Рисунок 4 Магазин цветов

Изучив реальный спрос на рекламные вывески компании «ADR» определили, что рекламных щитов размером 3×1,8м2 требуется три единицы ежемесячно, размером 2 ×2,7 м2 - шесть единиц ежемесячно, размером 1,5 ×0,6 м2 - две единицы и размером 1 ×0,5м2 - одиннадцать единиц ежемесячно.

Составим карту всех возможных способов раскроя листов пластика ПВХ на рекламные вывески:

Размер вывесок (м2)	Способы раскроя
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3×1,8	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2 ×2,7	2	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	0
1,5 ×0,6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
1 ×0,5	0	1	3	12	9	7	6	5	3	1	0	3
Отходы (м2)	0,3	0,7	0,6	0,6	1,2	1,3	0,9	1	0,6	0,7	0,3	0,6

Минимизируем общие отходы от раскроя всех листов пластика ПВХ:

Z=0,3x1+0,7x2+0,6x3+0,6x4+1.2x5+1,3x6+0,9x7+x8+0,6x9 +0,7x10+0,3x11+

+0,6x12 min

Система ограничений имеет вид:

x1+ x2+ x3 ≥3

2x1+x2+x4+2x5+3x6+4x7+5x8+6x9+7x10+8x11 ≥6

x12 ≥2

x2+3x3+12x4+9x5+7x6+6x7+5x8+3x9+x10+3x12 ≥11

По смыслу задачи все .

Получена задача целочисленного программирования, т. к. все xj (j=1,...m) – целые (количество вывесок).

Используя симплекс-метод решения ЗЛП (метод искусственного базиса) находим следующий оптимальный план раскроя листов пластика ПВХ.

xопт=(3; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2)

Вывод: по 1-ому способу нужно раскроить 3 листа пластика ПВХ, по 4-ому – 1 лист, по 12-ому – 2 лист. Общее количество используемых листов равно шести. Минимальные отходы составляют 2,7 м2 (zmin=2.7 м2). При другом способе раскроя листов пластика ПВХ компания будет нести дополнительные издержки.

Проанализировав полученные результаты, рекомендуем компании «ADR» закупать шесть листов пластика ПВХ ежемесячно, использовать указанные способы раскроя и производить дополнительно рекламную вывеску размером 2×2,7 и 7 штук вывесок - размером 0,5×1, в дальнейшем реализовать их и получить дополнительную выгоду из имеющихся шести листов пластика ПВХ.

Компания «ADR» может оптимизировать издержки производства, используя для изготовления рекламных вывесок предложенные варианты раскроя листов пластика ПВХ. Таким образом, математическое моделирование позволяет найти новые выходы из сложившейся ситуации, оптимизировать издержки производства и, как следствие, – увеличить реальный доход предприятия.

Использованные источники

1  , , Кузубов программирование. – М.: Высшая школа, 1976. – 352с.

2  Глотов -математические методы планирования. – М.: Лесная промышленность, 1980. – 159с.

3  Лемешевский : социально-экономический аспект: учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов. – 3-е изд. доп. и перераб. – Мн.: Аинформ, 20с.

Численное моделирование турбулентности в геометрически сложных областях с применением высокопроизводительных технологий

,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан

Моделированию турбулентных течений посвящено множество работ, однако до сих пор данное направление остается актуальным. В рамках настоящей работы проведено исследование пространственных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в искривленных цилиндрических областях. Для такого исследования нестационарных течений используется неразнесенная сетка. Описано построение математической модели, составлен и реализован численный алгоритм, а также показаны результаты решения задачи. При моделировании используется осредненное по ансамблю уравнение Навье-Стокса в неортогональных криволинейных системах координат, согласованных с границей области течения [1].

С целью построения адекватной модели для моделирования процесса движения жидкости в искривленной цилиндрической области осуществляется преобразование, позволяющее записать систему основных уравнений в криволинейных (тороидальных) координатах, на основе выражений, предложенных в [1].

При описании задачи движения жидкости в искривленной цилиндрической области используем уравнение Навье - Стокса для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами.

Численное моделирование задачи течения жидкости в искривленной цилиндрической области осуществлятся на основе решения нестационарных уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности. При построении математических моделей используется уравнение Навье-Стокса в неортогональной криволинейной системе координат .

С целью получения более объективного результата производится преобразование общего вида, которое позволяет перейти от тороидальных координат к декартовом (), посредством которого отображается физическая область на вычислительную область . После проведения данного преобразования производится обезразмеривание основных уравнений.

Для численного решения задачи используется схема расщепления по физическим параметрам. Предлагается следующая физическая интерпретация приведенной схемы расщепления. На первом этапе предполагается, что перенос количества движения осуществляется только за счет конвекции и диффузии. Промежуточное поле скорости находится методом дробных шагов, при использовании метода прогонки.

На втором этапе, по найденному промежуточному полю скорости, находится поле давления. Уравнение Пуассона для поля давления решается методом Фурье в сочетании с методом матричной прогонки, которая применяется для определения коэффициентов Фурье. На третьем этапе предполагается, что перенос осуществляется только за счет градиента давления.

Промежуточное поле скорости находится при использовании метода дробных шагов. На каждом этапе метода дробных шагов используется метод прогонки для нахождения этапных значений промежуточного поля скорости.

После получения результатов осуществляется обратное преобразование от вычислительной к физической области, что позволяет производить объективную интерпретацию данных.

Ниже, на рисунке 1, показано изменение скорости в момент времени , в сечении, образованном углами . Красные зоны свидетельствуют о высоких значениях скорости, синие – о низких. Рисунки 2,3 иллюстрируют аналогичную картину, только при иных значениях t, при числе Рейнольдса равном .

Рисунок 1 Изменение скорости движения жидкости при в сечении, образованном углами

Рисунок 2 Изменение скорости движения жидкости при в том же сечении

Наравне с решенной задачей о турбулентном характере движения жидкости в искривленной цилиндрической области при использовании аналогичного алгоритма, решена задача турбулентного перемешивания в цилиндрической области, вызванного вращением лопастей пропеллера, расположенного на высоте (Н – высота цилиндрической области). Рассмотрены случаи, когда лопасти находятся под углами и к основанию цилиндра [1].

На рисунках 3,4 приведены результаты моделирования при количестве лопастей К=3, из которых следует, что при малых значениях скорости вращения пропеллера наблюдается ламинарное движение жидкости, при относительно средних скоростях (=0,001) происходит появление вихревых зон, а при больших скоростях вращения наблюдается развитая турбулентность.

Рисунок 3 Изолинии скорости при в вертикальном сечении при

Рисунок 4 Изолинии скорости при в вертикальном сечении при

Кроме того, реализация программного кода для указанных задач осуществлялась при использовании технологии параллельного программирования OpenMP+MPI, что позволило существенно повысить производительность вычислений. Ускорение (производительность) отображено на рисунке 5, где показан расчет ускорения в результате параллелизации программного кода на кластере Ursa ДГП НИИ Математики и механики КазНУ им. аль-Фараби. N соответствует количеству узлов вычислительной сетки.

Рисунок 5 Расчет ускорения, получаемого в результате параллелизации на кластере Ursa ДГП НИИ Математики и механики КазНУ им. аль-Фараби при решении задачи о моделировании турбулентности в цилиндрической области, внутри которой расположен пропеллер

Использованные источники

1. , , Каруна моделирование турбулентного перемешивания в цилиндрической области при наличии пропеллера. // Вычислительные технологии. – 2008. – Том 13, Серия математика, механика, информатика, № 3 (58). Часть 2 – С.117-125

КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ МЕНЕДЖМЕНТА ПРИ НЕПОЛНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге, Россия

Науч. рук.: В.B. Финаев, д. техн. н., профессор

Вербальное определение получают многие факторы и состояния, влияющие на эффективность решения задач менеджмента, т. к. невозможно применить измерения к входным параметрам, компонентам состояний отдельных работников и служащих. Все это порождает ситуации, характеризующиеся неполной определенностью, что приводит к условиям риска при принятии управляющих решений [1]. Рассмотрим, как формулируется задача принятия решений в условиях риска.

Пусть существует множество решений H={h1,h2,…,hn}. Каждому элементу hi из множества H можно (например, путем экспертного опроса) сопоставить множество Qi={q1i,q2i,…qmi} из множества конечных результатов Q={Q1´Q2´…´Qm}. Каждое множество Qj может рассматриваться, как множество значений некоторого критерия Kj, на достижение которого направлено решение hi. Сопоставление элементов множества H и элементов множества Q1´Q2´…´Qm представлено в виде табл. 1. В таблице сопоставление H®Q задается условными вероятностями P(Qj/hi), определяющими достижение результата Qj={q1i,q2i,…qmi} при выбранном решении hi.

Таблица 1

Q/H	Q1	Q2	…	Qm
h1	P(Q1/h1)	P(Q2/h1)	…	P(Qm/h1)
H2,	P(Q1/h2)	P(Q2/h2)	…	P(Qm/h2)
…	…	…	…	…
hn	P(Q1/hn)	P(Q2/hn)	…	P(Qm/hn)

Неопределенность целесообразно уменьшить, применив экспертные оценки полезности выбора решения. Полезность выбора решения hi, направленного на достижение результата Qj={q1i,q2i,…qmi}, определится значением полезности U(Qj,hi), определяемой экспертным путем [2].

Ожидаемая полезность каждого решения hi определится по формуле

. (1)

Определение оптимального решения hi из множества H определится решающим правилом [3]

. (2)

Принятие оптимальных решений в условиях неопределенности может рассматриваться с позиций анализа внешней среды, которая также априори частично неопределена. Пусть известно, что внешняя среда по отношению к лицу, принимающему решение, характеризуется множеством состояний S={s1,s2,…sP} и в некоторый момент времени может находиться в одном из состояний sp. Будем считать, что задана модель задачи принятия решений в виде матрицы полезности U, вид которой показан в табл. 2.

Таблица 2

Q/H	Q1	Q2	…	Qm
h1	U(Q1,h1)	U(Q2,h1)	…	U(Qm, h1)
h2,	U(Q1,h2)	U(Q2,h2)	…	U(Qm, h2)
…	…	…	…	…
hn	U(Q1,hn)	U(Q2,hn)	…	U(Qm, hn)

В зависимости от состояния внешней среды sp конечный результат Qj достигается с вероятностью P(Qj/hi,sp). Экспертным путем определены субъективные вероятности P*(sp), формально определяющие гипотезу, что внешняя среда находится в состоянии sp. Эти субъективные оценки приняты взамен теоретических вероятностей P(sp). Если предположить, что вероятности P(sp) могут быть определены, то получим задачу принятия решения в условиях риска [4]. Оптимальное решение hi из множества H определится решающим правилом