Применение математического моделирования для оптимизации мебельного производства (стр. 9 )

ОС = . (4)

Величина ОС должна составлять не более 10%, чтобы быть приемлемой, то есть в этом случае, составленная экспертом матрица близка к согласованной. Если окажется, что ОС > 10%, тогда эксперту предлагается пересмотреть свои относительные оценки aij или следует применить предложенный в данной работе способ коррекции оценок важности признаков методом итерации. В этом случае для каждой i строки вычисляются суммы квадратов отклонений экспертной оценки aij от теоретически полученной , то есть

Si = , (5)

где i = .

В i - строке с максимальным значением Si, при i = const, экспертные оценки aij заменяются отношением найденных компонент собственного вектора  = (mW(wi)), то есть  = , "i = . Тогда для обеспечения непротиворечивости признаков следует изменить оценки в соответствующем j - столбце, учитывая, что j : = , при j = const, "i = . Для полученной матрицы А* = ()п´п с новыми элементами в i строке и j-столбце вычисляется собственный вектор * = ((wi)), наибольшее собственное значение lmax и отношение согласованности. Если окажется, что для матрицы А* значение ОС > 10%, то описанный процесс коррекции повторяется до тех пор, пока не будет получено значение ОС £ 10%.

Взаимосвязь объекта и признаков осуществляется эвристически с помощью парных сравнений экспертных оценок степеней важности объектов относительно каждого признака в виде .

Таким образом, в случае нечеткой исходной информации обобщенная оценка важности объекта будет определяться значением его функции принадлежности к множеству допустимых значений mD(xi).

Эта оценка отражает степень важности объекта по сравнению с другими объектами относительно каждого признака и учитывает при этом степень важности признака по сравнению с другими признаками относительно цели задачи.

Совместное требование этих двух или более условий к обобщенной оценке важности объекта находится с помощью операции пересечения функций принадлежности объекта хj к нечеткому множеству признака wi и функции принадлежности этого признака wi к нечеткому множеству признаков W:

(xj)ÙmW(wi).

Для осуществления операции пересечения функций принадлежности в работе используется следующее определение операции пересечения функций принадлежности:

(xj) ÙmW(wi) = (xj)×mW(wi).

Так как объект xj обладает п признаками, каждому из которых соответствует значение функции принадлежности (xj), и при этом степень важности каждого признака определяется значением функции mW(wi), то обобщенная оценка объекта xj в области D находится как объединение п пересечений функций принадлежности объекта xj к нечеткому множеству каждого признака wi и функции принадлежности этого признака нечеткому множеству признаков W:

.

В соответствии с теорией нечетких множеств значение обобщенной оценки объекта xj представлено в виде

. (6)

Значение обобщенной оценки находится в результате выполнения действий, приведённых ниже.

Составляется матрица оценок сравнений степеней важности признаков относительно цели:

, где .

Компоненты собственного нормированного вектора матрицы А определят соответствующие значения функции принадлежности каждого признака нечеткому множеству признаков и образуют столбцовую матрицу U = , матрицу количественных значений важностей или приоритета каждого признака относительно всех признаков для достижения цели.

Для определения значений функции принадлежности объекта нечеткому множеству каждого признака wi составляется п матриц В(i) по числу признаков, элементы которых выражают сравнительные оценки функций принадлежности объектов х нечетким множествам признаков wi:

где .

Компоненты собственных нормированных векторов n матриц В(i) определят матрицу Е, матрицу количественных оценок важностей каждого j объекта относительно любого i признака:

Е =, где .

В результате умножения слева матрицы U, элементы которой выражают значения функции принадлежности признаков, на матрицу Е, получаем матрицу F, элементы которой определяют обобщенные оценки объектов, равные значениям функции принадлежности объектов нечеткому множеству допустимых значений D:

F = . (7)

Наибольшее значение функции принадлежности объекта xj нечеткому множеству D определит оптимальное решение (объект) многокритериальной задачи с нечеткой исходной информацией.

При решении некоторых практических задач требуется учитывать время изменения i - признака у каждого j - объекта. В задаче оптимизации доставки личного состава по сигналу тревоги может периодически изменяться количественное значение признака «число сотрудников, проживающих в данном квадрате», например, в связи с уходом большего числа сотрудников в отпуск в летний период [3].

Другой пример: для прокладки трубопровода используются трубы, изготовленные из m различных марок стали. На долговечность труб влияют различные признаки, которые могут изменяться со временем:

-  толщина стенок трубы;

-  химический состав металла;

-  химический состав почвы (увлажненность) и т. д.

Зависимость признака от времени при определении степени принадлежности j – объекта нечёткому множеству i – признака предлагается учитывать следующим образом.

Для определения изменившихся со временем значений функций принадлежности объекта нечёткому множеству каждого признака из полученной матрицы Е для каждого признака составляется m матриц E (j), размером 1n, по числу объектов , и m диагональных матриц Т (j), размером nn, элементы которых равны значениям «времени изменения» i – признака для j – объекта.

В результате умножения справа матрицы E (j) на матрицу Т (j) получаем матрицу , элементы которой равны значениям функции принадлежности объекта нечётким множествам признаков с учётом изменения их со временем:

Частный случай: при постоянном значении i – признака у j – объекта

Элементы матриц , образуют матрицу

Обобщённые оценки объектов с учётом времени изменения значения каждого признака, получаем в результате умножения «слева» матрицы значений функции принадлежности признаков U  на матрицу :

Обобщённая оценка элемента в нечётком множестве D с учётом временного изменения признаков имеет вид:

Использование диагональной матрицы коэффициентов позволит учитывать временные, периодические изменения значений функций принадлежности объекта нечётким множествам признаков , не привлекая эксперта для пересмотра оценок попарных сравнений объектов относительно каждого признака , не изменяя элементы матриц и не пересчитывая значения

Использованные источники

1. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 19с.

2. Аналитическое планирование. М.: Радио и связь, 19с.

3. Гревцев методы оптимизации управления действиями правоохранительными органами в экстремальных ситуациях: Монография. Самара: СЮИ ФСИН России, 2007.-120 с.

Использование метода «мягких» вариаций при конструировании вариационных функционалов

Гриценко Ар. В., Гриценко Ан. В.

Ставропольский государственный университет, Россия

(ФМФ, 4 курс)

Науч. рук.: , к. физ.-мат. н., доцент

Необходимость использования различных приближенных теоретических методов во многих областях современной физики возникает в частности потому, что даже в качественно «прозрачных» задачах при создании продуктивной математической модели проблема ее исследования, решения уравнения оказывается весьма сложной.

Одним из надежных методов получения приближенных решений физически интересных уравнений является вариационный метод.[1] Основная идея метода состоит в нахождении собственных значений и собственных функций гамильтониана (оператора полной энергии), вычисляя значения энергии для различных функций , описывающих состояния исследуемой физической системы. Главной проблемой самого вариационного метода является выбор оптимальных пробных функций, поведение которых при изменении независимых переменных и параметров системы наиболее близко к поведению самой физической системы. Для решения этой непростой проблемы предлагается использовать метод эталонного моделирования.[2, 3]

Предполагается использовать приближенные функции, полученные с помощью метода эталонного моделирования, в качестве пробных функций при консультировании вариационного интеграла. Этот подход позволяет обойти проблему интуитивного выбора вида пробной функции и проводить варьирование на уровне потенциалов, что дает основание назвать предполагаемый подход методом «мягких» вариаций (ММВ).

Рассмотрим алгоритм ММВ на примере получения вариационного функционала для оператора гамильтониана . Чтобы подобрать оптимальную пробную функцию, воспользуемся соотношением между искомой приближенной функцией и точным решением для эталона. Масштабный параметр – функция Миллера-Гура – является решением уравнения Шварца.

(1)

где . (2)

(2) – производная Шварца, штрих означает дифференцирование по .

Здесь , – это квазиимпульсы исследуемой системы и эталонной модели.

, (3)

– значения энергии, – масса частицы, – потенциальные поля, в которых находится частица.

Уравнение Шварца (1) содержит члены различного порядка малости: два первых слагаемых имеют порядок , третье слагаемое – порядок (– постоянная Планка). Поэтому решение уравнения (1) с учетом (2) может быть получено методом последовательных приближений в виде разложения по степеням :

. (4)

Использование метода эталонного моделирования позволяет представить пробную функцию с помощью известной функции эталонной системы и функции Миллера-Гуда в виде:

. (5)

Когда выражение (5) получено с необходимой точностью, можно записать вариационный функционал в следующем виде:

. (6)

(* – знак комплексного сопряжения).

Таким образом, вариационный интеграл оказывается зависящим от заданного потенциала исследуемой системы и потенциала эталонной модели. Выражения для и могут включать параметры варьирования, изменяя которые можно «мягко» подгонять вид потенциала и пробной функции для оптимизации вариационного функционала.

В качестве примера, иллюстрирующего применение метода «мягких» вариаций, рассмотрим низкоэнергетическое - рассеивание электронов[6] в поле потенциала, имеющего вид

(7)

где – удвоенное значение поляризуемости атома с порядковым номером , а – параметр, определяемый из сшивания потенциала в точке . Функция при имеет вид:

(8)

В качестве моделирующего потенциала (эталона) возьмем также нелинейный потенциал, качественно сходный с потенциалом :

(9)

где и , определяемые из условий сшивания потенциала (9) в точке с точностью до первой производной, выражающейся через параметр , который и будет вариационным параметром:

, . (10)

Подставляя (7), (8) и (9), (10) в выражения (3) для квазиимпульсов , и решая уравнение Шварца (1) в нулевом приближении, можно определить вид функции . Затем решение уравнения для эталонного потенциала и подставляем в вариационный интеграл (6). Произведя варьирование интеграла (6) по и приравняв вариацию , находим уравнение для параметра :

(11)

Для оценки возможностей предлагаемого метода был произведен расчет эффективности длины низкоэнергетического рассеяния элементов в поле потенциала (7), (8) с помощью приближенной формулы и сравнения с результатом прямого численного интегрирования уравнения Шредингера[5] с таким же потенциалом. Расхождение результатов для атома гелия и неона составило 1,32% и 6,1% соответственно.

Обнадеживающие результаты, полученные при решении тестовых задач, позволяют надеяться на успешное использование ММВ в более сложных вариационных процедурах[6]: квадратичных вариационных методах Джеймса-Кулиджа (метод среднеквадратичных отклонений локальной энергии) и Фроста (локально-энергетический метод наименьших квадратов).

Использованные источники

1. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1995.–590с.

2. Жирнов ВКБ-метод в нерялитевистской квантовой механике. Дисс. докт. – 1978.

3. Игропуло как модель // Математическое моделирование в научных исследованиях. Материалы Всероссийской научной конференции. – ч.1.–Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000.– с.112-116

4. Ву Т. Квантовая теория рассеяния. – М.: Наука, 1999.– 456с.

5. , Голубева по квантовой физике. – М.: Высшая школа, 2006. – 528 с.

6. Mohamed Assad A.-R. On the variational methods for bound-state and scattering problems // Phys. Rep., m.84, №3, 1992.–с. 164-261.

Когнитивный подход к исследованию АПК региона

Адыгейский государственный университет, Россия

Науч. рук.: , д. эконом. н., профессор

Для современного этапа структурного реформирования экономики России определяющим фактором является обеспечение ускоренного экономического роста, прежде всего, в одной из базовых отраслей – сельском хозяйстве. Агропромышленный комплекс (АПК) России – один из наиболее крупных секторов народного хозяйства. На его долю приходится 25% основных фондов, около 30% валового общественного продукта и более 70% потребительских товаров, что оказывает серьезное влияние не только на продовольственную безопасность страны, но и на социальную обстановку в обществе в целом.

По словам Председателя Комитета Государственной Думы по аграрным вопросам В. Денисова, важность агропромышленного комплекса определяется тем, что он выполняет важнейшую социально-экономическую функцию – обеспечение общества ничем не заменимыми продуктами питания и непродовольственными предметами потребления, изготавливаемыми из сельскохозяйственного сырья, без развития агропромышленного комплекса не может быть и речи о безопасности страны и ее населения. В этой связи основополагающим моментом является формирование обоснованной сельскохозяйственной политики, базирующейся на глубокой научной проработке стратегических целей и путей развития отрасли, определения приоритетных направлений ее структурной перестройки, повышения устойчивости и результативности функционирования. Сложность, многоаспектность поставленной задачи требует привлечения математических методов.

В настоящее время удобным математическим аппаратом исследования больших систем, к которым относится социально-экономические, политические, экологические системы, является аппарат когнитивного моделирования [1, 2]. Суть методики когнитивной структуризации и моделирования систем и ситуаций состоит в том, что она позволяет осуществлять моделирование и поиск решений в слабоформализуемых ситуациях при отсутствии или неполной информации о процессах, происходящих в таких ситуациях и условиях быстрых перемен.

В когнитивное моделирование слабоструктурированных проблем, к которым относятся проблемы исследования управления сложными системами, в частности, АПК, предложено включать решение комплекса взаимосвязанных задач: идентификации и оптимизации системы, анализа связности и сложности системы, установления реализуемости и наблюдаемости системы, сценарного анализа, анализа устойчивости и чувствительности системы, адаптируемости и процессов самоорганизации системы, прогнозирования, принятия решения в системе.

В когнитивном анализе и моделировании исследование сложной системы начинается с решения задачи ее идентификации в виде когнитивной модели [2], одна из общих форм которой – параметрический векторный функциональный граф – это кортеж

,

в котором:

1) , ; ;G – ориенти­рованный граф (когнитивная карта ), V –множество вершин, вершины («концепты») являются элементами изучаемой системы; E – множе­ство дуг, дуги eij Е, i, j = 1, 2, …, N, отражают взаимосвязь между верши­нами Vi и Vj; .влияние Vi на Vj в изучаемой ситуации может быть положительным (знак «+» над дугой), если увеличение (уменьшение) одного фактора приводит к увеличению (уменьшению) другого, и отрицательным (знак «-» над дугой), если увеличение (уменьшение) одного фактора приводит к уменьшению (увеличению) другого, или отсутствовать.

2) X:V, X – множество параметров вершин, X={ | X, i=1, 2,…,k }, ={x(i)g}, g=1,2,…,l. x(i)g – g-параметр вершины Vi, если g=1, то x(i)g = xi; – пространство параметров вершин, т. е. каждой вершине ставится в соответствие вектор независимых переменных.

3) F=F(X, E) – функционал преобразования дуг, F: EXR. Зависимость fij может быть не только функциональной, но и стохастической, в виде уравнений регрессий. Определение параметров характеристики fij включает в себя определение шкалы, показателей, метода, точности, единицы измерения.

Когнитивная карта помимо графического изображения может быть представлена матрицей отношений АG – это квадратная матрица, строки и столбцы которой помечены вершинами графа, а на пересечении i-строки, j – столбца стоят (или нет) единицы, если существует (не существует) отношение между элементами Vi и Vj, т. е.

АG=[аij]k´k , где аij =

Отношение между переменными (взаимодействие факторов) – это количественное или качественное описание влияния изменения одной переменной на другие.

Переменными концептов могут быть, например, политические альтернативы, экономические причины и их эффекты, параметры экономических законов, цели и необходимые средства их достижения.

Пользуясь схемой А. Гранберга для регионального социально-экономического механизма и адаптируя ее [3], построим когнитивную карту АПК региона (рисунок 1).

Вершины (концепты) графа имеют следующий смысл: V1 – расходы на конечное потребление; V2 – производственная сфера АПК, включающая в себя производство и непроизводственную и социальную сферу; V3 – занятость; V4 – доходы населения; V5 – валовое накопление; V6 – федеральные регулирующие системы; V7 – межрегиональный и экономический обмен; V8 – природная среда.

Когнитивная карта отражает наличие влияния факторов друг на друга, в ней не отображается ни детальный характер этих влияний, ни динамика изменения влияний в зависимости от изменения ситуации, ни временные изменения самих факторов.

Построение и анализ когнитивных карт требует прохождения определенных этапов.

На первом этапе – этапе когнитивного анализа сложной ситуации – формулируется задача и цель исследования, изучается текущая ситуация или процесс, производится сбор и анализ необходимой информации, Выделяются основные характеристические признаки и взаимосвязи между ними в исследуемой ситуации или процессе, определяются действия основных объективных законов развития текущей ситуации или процесса, требования, условия, ограничения, выделяются основные социально-политические субъекты и механизмы действия данных субъектов.

Рисунок 1 Когнитивная карта АПК региона.

На втором этапе – этапе построения когнитивной (графовой) модели – выделяются факторы, характеризующие проблемную ситуацию или процесс, выделенные факторы группируются по блокам, выявляются связи между факторами различных блоков и факторами внутри блоков, определяется позитивность и степень влияния между факторами. Затем выполняется построение когнитивной карты (графа) исследуемой ситуации или процесса, составляются уравнения связи между вершинами и проверяется адекватность когнитивной модели ситуации или процесса.

Качественный анализ когнитивной модели (содержания составляющих ее блоков, целевых и управляющих факторов, анализ путей и циклов, причинно-следственных связей и их характера) не раскрывает всей глубины явлений и процессов, протекающих в реальной системе. Поэтому третьим, следующим этапом исследования, является моделирование импульсного процесса распространения возмущений, т. е. перехода системы из одного состояния в другое либо эволюционным путем, либо под воздействием управляющих или возмущающих воздействий. Каждый такой импульсный процесс является возможным сценарием развития системы. Сценарий – это совокупность тенденций, характеризующих ситуацию в настоящий момент, желаемых целей развития, ком­плекса мероприятий, воздействующих на развитие ситуации, и системы наблюдения параметров (факторов), иллюстрирующих поведение процессов [1].

Сценарный подход занимает важное место в изучении поведения социально-экономической системы, в частности, АПК, так как позволяет проводить многовариантный ситуационный анализ моделируемой системы.

Построенная когнитивная карта – первое достаточно объективное приближение к построению когнитивной модели АПК региона. С помощью этой модели можно найти факторы, опосредованно влияющие на функционирование системы АПК, выявить скрытые закономерности между факторами, провести когнитивное моделирование.

Использованные источники

1. , , Гинис анализ и моделирование устойчивого развития социально-экономических систем. – Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 2005. – 288 с.

2. , , Радченко слабоструктурированных проблем социально-экономических систем: когнитивный подход. – Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 2006. – 332 с.

3. Кацко обеспечение процесса управления социально-экономическими системами мезоуровня: теория, методология, инструментарий. Диссертация на соискание ученой степени доктора экономических наук. – Ростов-на-Дону, 2008.– 408 с.

Оптимизация раскроя листов пластика ПВХ для рекламных щитов

А

Белорусский государственный технологический университет, Беларусь

(инженерно-экономический факультет, 2 курс)

Науч. рук.: , к. физ.-мат. н., доцент

В условиях рыночного обмена каждому хозяйствующему субъекту приходится сопоставлять свои действия с позиции других производителей. Так в условиях рынка между производителями возникает конкуренция за право быть причастным к выполнению «социального заказа» [3]. Исследование различных, в том числе и экономических, процессов обычно начинается с их моделирования, т. е. отражения реального процесса через математические соотношения. В мире рыночной конкуренции каждая организация ставит перед собой цель изготавливать качественную продукцию с оптимальными издержками. Чтобы получить оптимальный план по выпуску продукции нужно воспользоваться математическим моделированием.

Цель работы – составить оптимальный план выпуска рекламной продукции для Компании «ADR».

Компания «ADR – Advertising to Retail» - единственная в Республике Беларусь рекламно-производственная компания, осуществляющая разработку и изготовление рекламной продукции и услуг исключительно для розничной торговли.

Компания «ADR» предлагает следующие виды услуг: разработка фирменного стиля компании (название, логотип, написание, слоган, бизнес элементы); разработка и изготовление наружной рекламы любого размера и форм (рекламные щиты, панель-кронштейны, световые короба, козырьки, навесы, маркизы и т. д.); дизайн и оформление витрин и фасадов; дизайн и изготовление рекламы на местах продаж: POS-материалы (промо-стойки, информационные стенды, воблеры, гирлянды, диспенсеры, плакаты, мобайлы, стикеры); дизайн и изготовление оригинальных отдельно-стоящих конструкций дизайн и оформление интерьеров; дизайн торгового и офисного оборудования; дизайн кафе, павильонов; оформление автотранспорта. Компания закупает листы пластика ПВХ для изготовления рекламных щитов.

Составление математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор целевой функции.

На предприятии производится раскрой m различных размеров рекламных щитов в количестве, требуется bj единиц каждого размера. Из пластика ПВХ требуется изготовить максимальное количество рекламных щитов, когда в каждый лист входит p различных размеров щитов в количестве kr (r=1,…,p) единиц каждого размера. Листы пластика ПВХ можно раскроить n различными способами. При раскрое одного листа i-ого размера по j-ой схеме получается aijr вывесок r-ого размера [1].

Составим математическую модель задачи, для чего xij обозначим число листов ПВХ i-ого размера, раскроенных по j-ой схеме. Тогда из всех листов

r-ого размера при раскрое их по n схемам получим число рекламных щитов