"
∗
#q
1
q∗
1
"
∗
#q
1
q∗
С другой стороны,
∫ 1
0
ωpk(f, u)
(1
1
du
u
=
∑∞
t=0
∫ ν(t)
1
ωpk(f, u)
(1
1
du
u
≥
max
u1≤j≤n
pj −qj
ν(t+1)
1
max
u1≤j≤n
pj −qj
∞ "
max
(
1
1
(
1
q∗ q∗
#
∑
t=2
ν (t)1≤j≤n
pj −
qj ωpk
f,
ν (t)
.
(19)
Подставляя полученное соотношение в (19), из оценки (18) получим (15).
Пусть f ∈ Bpωθ(Rn) . Покажем, что имеет место следующая оценка
1
q∗
q∗
#θ
1
θ
(??)J ≡
∫ | 1 |
ωpk(f, u)
(
1
du | |
u
∫ 1 "ωkp(f, u)
Ω (u)
dΩ (u)
Ω (u)
.
(20)
0
max
u1≤j≤n
1
pj −qj
0
max
kj
Определим последовательность {µj (t)}∞t=0 следующим образом (напомним, a = 2j=1,...,n
µj (t) ≡ ω−j1 (a−t.
Последовательность {µj (t)}∞t=0 убывает к нулю (если ωj (δ) не является строго
kj
возрастающей, то переходим к эквивалентной ей функции ωj(δ)+δ
)
(21)
ωj(1)+1).
Покажем, что для последовательности {µj (t)}∞t=0 имеет место соотношение
µj(t + 1) ≤1
µj (0) = 1, µj ≡
µj(t)
2
.
(22)
Действительно, применяя (21), имеем
a =
a−t
a−t−1
=
ωj(µj (t))
ωj(µj(t + 1))
,
ωj (µj (t + 1)) =
1
kjωj (µj (t)) =
1
откуда
(2µj (t)
kjωj
k
≤≤2j
kjωj
(µj (t)
≤ ωj
(µj (t)
.
max
2j=1,...,n
max
2j=1,...,n
2
max
2j=1,...,n
2
2
Стало быть, отсюда, в силу монотонности ω−1 (δ) получаем
µj(t + 1) = ωj−1(ωj(µj(t + 1))) ≤ ωj−1
(
ωj
j
(µj(t)
2
=
µj(t)
2
,
т. е. соотношения (22) доказаны.
Положим (см. также (20))
µ (t) ≡
n
Y
j=1
µj(t) =
n
Y
j=1
ωj−1 (a−t = Ω−1 (a−t.
n
Тогда (см. (21))
n
µ (t + 1)
Y
µj(t + 1)Y1
1
µ (t)
=
j=1
µj (t)
≤
j=1
27
2
=
2n
<1(t = 0, 1, 2, ...) .
(23)
атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6
Далее, для интеграла в левой части (??) имеем
∫ | 1 |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
