1≤j≤n
pj
qj
,
28
( ∞
∑ h
iθ
т. е.
1
) θ ( ∞ "
∑
−max
(
1 − 1
1
#ρ)ρ
J
t=0
atωpk(f, µ (t))
t=0
a−tµ(t + 1)
1≤j≤n
pj
qj
.
(25)
2). Пусть θ
q∗ ≤ 1 , тогда ρ = ∞ . Пользуясь неравенством Йенсена
( (a1+ ... + ak+ ...)r≤ ∑∞k=1ark, где 0 ≤ r ≤ 1 ) при r =qθ∗ , получим
1
"
−max
(
1
1
# ( ∞
)
θ
a−tµ(t + 1)
pj −
qj
∑ h
iθ
J sup
t
1≤j≤n
t=0
atωpk(f, µ (t))
.
(26)
Теперь отдельно изучим поведение следующей величины из (25) и (26):
1
( ∞ "
∑
−max
(
1
1
#ρ)ρ
A˜ = ˜Aθ,q :≡
t=0
a−tµ(t + 1)
1≤j≤n
pj −qj
.
Покажем, что
A˜ = ˜Aθ,qA(0 < ρ ≤ +∞) ,
(27)
p, q
где A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωnопределено в (14).
Поэтому, заменяя A˜ в неравенствах (25) и (26) на A, получим
1
( ∞
∑ h
iθ
)
θ
J A
t=0
atωpk(f, µ (t))
.
(28)
Наконец, докажем справедливость следующей двусторонней оценки
∞
∑ h
iθ ∫ 1 "ωpk(f, u)
#θ
dΩ (u)
t=0
atωpk(f, µ (t))
0
Ω (u)
Ω (u)
.
(29)
Используя определение среднего модуля непрерывности (см. [3]) и соответствующее
неравенство для среднего модуля непрерывности, а именно, поскольку Ω−1(ν ) =Qnj=1 ωj−1(ν)
и, по определению,
ωpk (f,Ω−1(ν) =
inf
max ωxkjj,p(f, uj) ,
ωpk (f,Ω−1(ν)
u1·...·un=Ω−1(ν) 1≤j≤n
то при uj = ω−j1(ν) имеем
n
ωkxjj,p f, ω−j1(ν) ∑ ωxkjj,p f, ωj−1(ν) .
max
1≤j≤n
j=1
Теперь произведя замену переменной u = Ω−1(ν) , получим
29
атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6
∫ 1
0
"ωpk(f, u)
Ω (u)
#θ
dΩ (u)
Ω (u)
=
∫ 1
0
"ωkp(f, Ω−1(ν)
ν
#θ
dν
ν
n
∑
j=1
∫ 1
0
ωkxjj,p f, ωj−1(ν)
ν
θ
dν
ν
≡ kfkB.
(30)
В итоге из оценок (15), (??), (30) и определения нормы Никольского – Бесова, получим
искомое неравенство
1
(∫ 1
"
(
1
1
#ρ
)
ρ
kf kq
0
− max
Ω (t) t 1≤j≤n
pj −qj
dt
t
kf kB,
т. е. справедливо вложение Bpωθ(Rn) ⊂ Lq(Rn) .
Необходимость. Пусть1
1
1
1
p1−q1=... =pn −qn , ω (t) ∈ (Ωβ)и A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ . Тогда
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
