q2
,
что доказывает неравенство (11) в случае n = 2 и q2 = q∗.
Пусть теперь n = 2 и q1= q∗ . В сумме ∑τt=2τ1из (13) опять же оставляя только слагаемые
при t = b1 , получим
1
τ2
∑
τ2
∑
h
i
q1
21
q2
q1
1
q2
J
b2=τ1
b1=τ1
(γb1·ν1(b1) · ν2(b1))2
ν1(b1)
ν2(b2)
1
=
=
τ2
∑
τ2
∑[γb1· ν1 (b1) · ν2 (b1)]q1
1
q2
q1
q1
q2
.
2=τ1 |
b1=τ1
ν1(b1) ν2(b2) q2
Теперь, оставляя во внешней сумме одно слагаемое при b2 = τ1 , затем воспользовавшись
неравенством1
1
τ2
ν2(τ1) ≥ ν2(b1 ) и, наконец, переходя к обозначению t = b1 , получим
1
1 q1τ21
!
1
q1
J
∑[γb1·ν1 (b1 ) · ν2 (b1)]q1
b1=τ1
q1
ν1 (b1) ν2 (τ1) q2
24
∑[γt·ν1 (t) · ν2 (t)]q1
t=τ1
q1
ν1 (t) ν2 (t) q2
=
τ2
∑ h
1
1iq1
!
1
q1
=
t=τ1
γt· ν1(t)1−q1 · ν2(t)1−q2
,
что доказывает лемму в случае n = 2 и q1 = q∗.
Итак, в случае n = 2 лемма доказана. При n ≥ 3 лемма доказывается аналогично.
2. О вложении Bωpθ(Rn) ⊂ Lq(Rn)
Имеет место
Теорема 2.4. Пусть для каждого j (j = 1, ..., n) даны числа
1 ≤ pj < qj ≤ ∞ (L∞(Rn) ≡ C (Rn)) , 0 < θ ≤ ∞, 0 < βj < kj , строго возрастающие модули
гладкости ωj(δ) порядка kjтакие, что ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t) · t−βjпочти убывает на
(0, 1 ] .
Пусть Ω (δ) есть средний модуль гладкости системы ω1, ..., ωn:
n
δ = Ω−1(u) =Yωj−1(u) ,
j=1
где через g−1 обозначена обратная к g функция.
Также последовательно положим
q∗=
}minqj, если qj< ∞ при некотором j,
1, если qj = ∞ при всех j = 1, ..., n
и
( ∞ при 0 < θ ≤ q∗,
ρ = θq∗ ∗
θ−q∗ при θ > q.
Тогда для того чтобы имело место вложение
B | ω p,θ(Rn)≡Bω1,...,ωnp1,...,pn,θ(Rn)⊂Lq1,...,qn(Rn)≡Lq(Rn), |
достаточно, а в случае, когда1
1
1
1
p1−q1=... =pn −qn и необходимо, чтобы
1
(∫ 1
"
− max
(
1 − 1
pj qj
#ρ
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
