19
атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6
Eν(t−1)(f )p+ Eν(t−2)(f )pEν(t−2)(f)p.
Включение Qt ∈ mν(t),p следует из теоремы Л. Шварца. Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) , 1 ≤ pj< qj≤ ∞ , заданы
последовательности {νj (t)}∞t=0,j = 1, ..., n, каждая с условием (2) и пусть дано разложение
∞
∑
(Q) : f (x) =
t=0
Qt(x) (вLp(Rn)), Qt∈ mν(t),p.
(6)
q∗=
Пусть также
}minqj , если; qj < ∞ при некотором j,
1, qj = ∞ при всех j=1,...,n.
Тогда верно неравенство
∗
1
∞ "
max
(
1 − 1
#q q∗
kf kq≤ c (p, q, ν)
∑
ν (t)1≤j≤n
pj
qjkQtkp
,
(7)
t=0
где ν (t) =Qnj=1 νj(t) , t = 0, 1, ... .
В случае p = p1 = ... = pn и q = q1 = ... = qn лемма 7 доказана [1].
Доказательство. Достаточно доказать лемму для конечных сумм, а затем осуществить
предельный переход в оценке (7).
Если все qj = ∞ (j = 1, 2, ..., n) , то q∗= 1и неравенство (7) следует из (6) с помощью
неравенства треугольника и неравенства Никольского (лемма 4):
∞
∞
n
1
∞
n
1
∞
1
kf kq
∑
t=0
kQtkq
∑ Y
t=0 j=1
νj(t)pjkQtkp
∑ Y
t=0 j=1
max
νj(t)1≤j≤n pjkQtkp=
∑
t=0
max
ν (t)1≤j≤n pjkQtkp.
Пусть qj < ∞ при некотором j ∈ {1, ..., n} .
Сначала докажем лемму при n = 3 . Для определенности предположим, что q∗=q2, т. е.
q = (q1, q2, q3) иq1≥ q2, q3≥ q2,
и потому q = (q1, q∗, q3) .
Тогда имеет место соотношение
1
∞
max
(1
1
q∗q∗
kf kq≤ c
∑
t=0
1≤j≤3
ν (t)
pj −qj
kQtkp
.
Действительно, в силу леммы 4 для почти всех (x1, x2 ) ∈ R2получим
kf (·, x2, x3)kq1 ≤ c1
( ∞
∑
t=0
1 − 1
ν1(t) p1q1kQt(·, x2, x3)kp1
)
.
Положим
1 − 1
ψt (x2)x3=ν1 (t) p1 q1 kQt (·, x2, x3)kp1.
20
Применяя лемму 3 для п. в. x3 ∈ R1, получим (1 ≤ p2 < q2 < r ≤ ∞, ν (t) = ν2 (t))
∞
∑
( ∞
kf (·, ·, x3)kq1
q2
t=0
ψt(·)x3
q2
)
1
∑ h
1 − 1
1 − 1 iq2
q2
t=0
ψt(·)x3 r ν2(t) r
q2 + ψt(·)x3 p2ν2(t) p2
q2
.
Далее, в силу неравенства Никольского (лемма 4) имеем
1
1
ψt (·)x3 r ν2 (t) p2−rψt (·)x3 p2,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
