О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова (стр. 2 )

возрастают на [0,1]. При каждом j = 1, 2, ..., n для функции u = ωj(t) рассмотрим, обратные

функций и положим

n

t = Ω−1(u) =Yω−j1(u) .

j=1

Функция u = Ω (t) - обратная к функции t = Ω−1(u) =Qnj=1 ωj−1(u) называется средней

функцией системы {ωj (t)}nj=1.

Это определение для случая ωj (t) ∈ Ω1 введено (см., напр., [2]. В случае

βj≥ 1 , средняя функция u = Ω (t) изучалась [1]. Там же показано, что

если ω (t) ∈ Ωβ1,...,βn, то Ωω (t) ∈ Ω(∑nj=1 βj−1)−1 .

[ 3 ] дал эквивалентное определение среднего модуля непрерывности:

Ωω (t) = Ω (t; ω1, ..., ωn) = inf

max ωj(tj ) (0 < t ≤ 1) .

t1·...·tn=t 1≤j≤n

o<tj≤1

1. Вспомогательные утверждения

16

Лемма 1 (см., напр., [1]). Если последовательность {ν (l)}∞`=0 такова, что

ν (l + 1)

ν (0) = 1, ≥ ν > 1, l = 0, 1, ...,

ν (l)

(2)

то для любых чисел α > 0, q > 0 и последовательности {at}∞t=0, at ≥ 0 верны неравенства

∞

∑ ν (l)α

l=0

∞

∑

t=l

at

!q ∞

∑ ν (t)αaqt,

t=0

∞

∑ ν (l)−α

l=1

l−1

∑

t=0

at

!q∞

∑ ν (t + 1)−αaqt.

t=0

Лемма 2. Пусть даны числа a > 1, 0 < θ ≤ ∞ , α > 0, 1 ≤ qj≤ ∞ (j = 1, ..., n) и

последовательности {νj (t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , каждая из которых удовлетворяет условию

(2), т. е.

νj(t + 1)

νj (0) = 1,

νj (t)

≥ νj > 1, j = 1, ..., n, t = 0, 1, ....

Положим ν (t) =Qnj=1 νj(t) .

Если

1

( ∞

) ρ

∑ (a−tν (t)α ρ

t=0

= ∞,

(3)

где q∗=

}minqj, если qj< ∞ при некоторомj,

и ρ =

( ∞ ?@8 0 < θ ≤ q∗,

θq∗ ∗

1, если qj = ∞ при всехj = 1, ..., n

θ−q∗?@8θ > q,

1

то существует последовательность {at}∞t=0, at ≥ 0 такая, что (∑∞t=0aθtθ<∞ и

1

" ∞

∗

#q∗

∑ (ata−tν (t)α q

t=0

= ∞.

Доказательство леммы следует из леммы 2 в работе [1] при ν = q∗.

Лемма 3 (см.[1]). Пусть 1 ≤ p < q < r ≤ ∞ и задана последовательность {ν (t)}∞t=0

удовлетворяющая условию (2) и пусть дан ряд вида

∞

∑

ψ (x) =

t=0

ψt(x) 2 Lloc1(R1,

∞

∑

где ψt∈ Lp(R1 ∩Lr (R1.

Тогда

( ∞

∑ h 1 − 1

)

1 − 1 iq

1

q

t=0

ψt(x)

q

t=0

kψtkrν (t) r

17

q + kψtkpν (t) p

q

.

атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6

Лемма 4 (Неравенство разных метрик Никольского в смешанной норме 4, стр.125). Пусть

p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) 1 ≤ pj< qj≤ ∞ и gν1,...,νn(x) - целая функция

экспоненциального типа ν1, ..., νnпо переменным x1, ..., xn. Тогда имеет место

соотношение

n

1

1

kgν1,...,νn(x)kq

Y

j=1

pj −qj

νj

kgν1,...,νn(x)kp.

Лемма 5 (Неравенство Юнга для смешанной нормы [5], стр. 24).

Пусть даны p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) , r = (r1, ..., rn) , rj= 1 −p1j−q1j, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ,

функции f ∈ Lp(Rn) и K ∈ Lr(Rn) ,

∫

I (x) =

Rn

f (y) K (y − x) dy.

Тогда

kIkq≤ kKkrkf kp.

В частности, при p = q

kI kp≤ kKk1kf kp.