О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова (стр. 6 )

P˜t=

}

ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn:

2νj(t)

νj

{

≤ ξj ≤ νj (t) , j = 1, ..., n

,

функции qt такие, что (F qt) (ξ) ∈ C0∞P˜tи

n

Y

qt (x) ≥ c1 (n) γt

n

Y

j=1

νj (t) при max

j=1,...,n

|xjνj (t)| ≤ 1,

(1

(9)

|qt(x)| ≤ c2(n, α) γt

j=1

|xj|−αjνj(t)1−αjдля всехαj≥ 0и всехx ∈ Rn

0

:= +∞ . (10)

Тогда для любых целых чисел 0 ≤ τ1< τ2≤ ∞ имеет место следующее неравенство

1

τ2

∑

|qt(x)|2

!

1

2





τ2

∑



γt

n

Y

1−1

qj

vj(t)

q∗q∗







,

(11)

t=τ1

q

t=τ1

j=1



постоянная в которой не зависит от {γt} , τ1и τ2.

Доказательство. Построение функций вида qt(E) = qt(x1, ..., xn) =Qnj=1qt(j)(xj) со

свойствами (9) и (10) проведено в [7, Лемма1]. Более того, имеет место равенство

n

kqtkr= C(n, r)γt

Y

j=1

1−1

νj(t)rj, 1 ≤ rj≤ ∞,

(12)

которое для изотропных r = (r, ..., r) , 1 ≤ r ≤ ∞ доказано [7], а для

анизотропных r = (r1, ..., rn) , 1 ≤ rj ≤ ∞ (j = 1, ..., n) доказывается последовательным

применением изотропного варианта.

В самом деле, в одномерном случае, согласно равенству (20) из [1]

kqtkLr(−∞,+∞)=C (1, r) Їtν (t)1−

1

1

2

22

r , Їt = γt.

Тогда, для r = (r1, r2) имеем

qt ≡ qt (x1, x2) = qt (x1 ) · qt (x2) ,

(∫ +∞ [∫ +∞ r r

]

r2

)

1

r2

kqtk(r1,r2)=

−∞

−∞

q

(1) t(x1)

1

q

(2) t(x2)

1

dx1

r1

dx2

1

=

=

(∫ +∞ [∫ +∞

−∞ −∞

q

(1) t(x1)

r

1

dx1

]

r2

r1

1

q

(2) t(x2)

r

2

dx2

)

r2

2

=

= c1 (r1) Їtν1 (t)1−

1

r1

[∫ +∞

−∞

q

(2) t(x2)

r

2

dx2

]r2

= c2 (r1, r2 ) γt

Y

j=1

1−1

νj (t)rj.

При n=2 равенство (12) доказано. Случай n > 2 доказывается аналогично.

Обозначим (j = 1, ..., n)

Kt(j)=}xj ∈ R1: |xjνj(t)| ≤ 1{=

}

xj∈ R1: |xj| ≤

1

νj (t)

{

.

Положим

Γ(0j)=K0(j),

Γ(tj)=Kt(j)\Kt(+1j)(t = 1, 2, ...) .