dt
)
ρ
A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn ≡
0
Ω (t) t
1≤j≤n
t
.
(14)
Доказательство. Достаточность. Сначала докажем неравенство
kf kq
∫ 1
ωkp(f, u)
(
1
1
q∗
1
q∗
du | |
u
+ kf kp,
(15)
0
max
u1≤j≤n
pj −qj
n
on
где ωkp(f, u) - средний модуль непрерывности системы
Итак, пусть f ∈ Lp(Rn) . Положим
25
ωkxjj,p (f, u)
j=1
.
атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6
1
max
a = 2j=1,...,n
kj
,
νj(t)
:= ω−j1 (ω (1) · a−t(j = 1, ..., n; t = 0, 1, 2, ...) ,
где, здесь и всюду далее, в целях удобства чтения, сокращая записи, связь модулей гладкости
и числовых последовательностей с f, kj, k, p, xjи т. п. будем опускать, например,
ωkxjj,p (f, u) = ωj(u) , ω−1(δ) =Qnj=1 ωj−1(δ) .
Тогда
(1
ωj
n
νj (t)
= ω (1) · a−t,
n
1
ω−1 (ω (1) · a−t=
Y
j=1
ω−j1 (ω (1) · a−t=
Y
j=1
1
νj(t)
=
ν (t)
,
где ν (t) =Qnj=1 νj(t) .
Отсюда
(1
ω
ν (t)
= ω (1) · a−t.
Таким образом,
ωkp(f, 1) a−t=ωxkjj,p
(
f,
1
νj (t)
= ωpk
(
f,
1
ν (t)
(j = 1, ..., n; t = 0, 1, 2, ...) .
(16)
Тогда условия (2) для каждого νj (t) (j = 1, ..., n) будут выполнены с νj = 2 .
Согласно лемме 6 для f ∈ Lp(Rn) выберем Qt(x1, ..., xn) = Qt(f ; x1, ..., xn) такими, чтобы
было выполнено равенство (4) и неравенства
Q0= 0, kQ1kp≤ kfkp, ..., kQtkpEν(t−2)(f )p.
Воспользовавшись леммой 8 и равенствами (16), получим
kQtkqEν(t−2)(f )p
n
∑
j=1
ωkxjj,p
(
f,
1
νj (t − 2) (n)
a−(t−2)ωkp(f, 1) .
(17)
Применяя неравенства (17) и (16) к оценке (7) из леммы 7, будем иметь
∗
1
∞ "
max
(
1 − 1
#qq∗
kf kq
∑
ν (t)1≤j≤n
pj
qjkQtkp
∞
"
max
(
t=0
11
(
1
1
q∗ q∗
#
(
1
1
∑
ν (t)
1≤j≤n
pj −
qj
ω | k p |
f,
max
1≤j≤n
+ ν (1)
pj −
qjkfkp
.
(18)
t=2
ν (t)
26
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
