О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова (стр. 1 )

О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bωp,θ(Rn) в

смешанной норме

(Университет "Туран - Астана", г. Астана, Казахстан)

В работе изучается вложение анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bω

n

p,θ(R ) в смешанной норме.

Найдены необходимые и достаточные условия вложения Bωp,θ(Rn) , причем, необходимость условия доказана при

дополнительных ограничениях.

Введение

Пусть Rn, как обычно, - n - мерное евклидово пространство точек x = (x1, ..., xn) с

действительными координатами. Всюду ниже пространство L∞(Rn) мы будем понимать как

пространство C (Rn) - всех ограниченных равномерно непрерывных на Rnфункций.

Всюду в тексте принято соглашение: при ρ = ∞

1

( ∞ )

ρ

}∫ t

{

1

∑

t=0

|a|ρ

≡ sup |at| ;

t

0

|f (u)|ρdu

u

ρ

≡ sup |f (u)| .

0<u≤t

Пусть дан мультииндекс p = (p1, ..., pn) , где 1 ≤ pj < ∞ (j = 1, ..., n) .

Через Lp(Rn) = Lp1,...,pn(Rn) обозначают множество всех измеримых функций

f (x) = f (x1, ..., xn) , для каждой из которых конечна смешанная норма



∫

"

(∫

p2

p1

#

pn

pn−1

1

 pn

kf kp=





R1

...

R1

|f (x1, ..., xn)|p1dx1

dx2...



dxn



.

При p = (p, ..., p) получаем

1

kf kp≡ kf kp=

}∫

Rn

{

|f (x)|pdx

p

.

В дальнейшем через C (α, β, ...) = Cα,β,... обозначаются положительные величины, зависящие

лишь от входящих параметров и, вообще говоря, разные в различных формулах. Пусть A и

B - некоторые числовые функции, причем A неотрицательна. Тогда записи B = Oα,β,...(A) ,

B

α,β,...

A будут означать |B| ≤! (α, β, ...) A. При неотрицательных A и B запись A

означает B A .

α,β,... α,β,...

α,β,...

B

При данном целом k ≥ 1 всякую непрерывную неубывающую на [ 0 , 1 ] функцию

ωk (δ) такую, что (С > 0-число)

ωk (0) = 0, η−kωk (η) ≤ Cδ−kωk (δ) (0 < δ < η ≤ 1)

называют функцией типа модуля гладкости k - го порядка.

Говорят, что функция g (t) почти убывает на [ 0,1 ] , если существует число C ≥ 1 такое,

что при всех 0 ≤ t1< t2≤ 1 выполнено неравенство

g (t2) ≤ Cg (t1) .

Обозначим через Ωβ , β > 0 класс всех непрерывных строго возрастающих на [0,1] функций

ω (t) таких, что

15

атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6

ω (0) = 0, ω (1) = 1, ω (t) t−β почти убывает на [0, 1].

Вектор-функция ω (t) = (ω1(t) , ..., ωn(t)) принадлежит (по определению) классу Ωβ , где

β = (β1, ..., βn) , если ωj(t) ∈ Ωβjпри каждом j ∈ {1, 2, ..., n} .

Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа и f ∈ Lp(Rn) .

Положим (j = 1, 2, ..., n)

ωkxjj,p (t, f ) = sup

h∈R1

|h|≤t

∆

kj hejf

p

(0 ≤ t ≤ 1) ,

(1)

где ej- единичный вектор, направленный вдоль оси xjи

kj

∆khejjf(x1, ..., xn) = ∑(−1)kj−mCkmjf(x1, ..., xj + mhj, ..., xn) .

m=0

Функция (1) называется модулем гладкости порядка kjфункции f в направлении оси >j.

Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, 0 < θ ≤ ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа, задана

вектор - функция w (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) такая, что для каждого j ∈ {1, 2, ..., n}

ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t) строго возрастает на [0,1] и пусть f ∈ Lp(Rn) .

Следуя [1], определим анизотропное пространство типа Никольского -

Бесова Bpωθ(Rn) в смешанной норме как пространство всех функций f ∈ Lp(Rn) , для

каждой из которых конечна величина

1

 

kfkB= kfkp+

n

∑



∫ 1

" ωxkjjp (t, f )#θ

dωj (t) 

θ

при 0 < θ < ∞,

j=1  0

kf kB= kf kp+

n

∑

j=1

ωj(t)

sup

0<t≤1

ωj(t) 

ωxkjjp (t, f )

при θ = ∞.

ωj (t)

Отметим, что пространство зависит также от k, хотя это не отражено в обозначении.

Пусть ω (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) , где ωj (0) = 0 , ωj (1) = 1, ωj (t) непрерывны и строго