найдется функция f (x) такая, что f (x) ∈ B ωn) , но f (x) / Lq(Rn) .
pθ(R
По данным строго возрастающим модулям непрерывности ωj(δ) порядка kj, таких, что
ωj(0) = 0, ωj(1) = 1 , определим последовательности (см.(20))
a−t=ωj νj1(t) и µj (t) = ωj−1 (a−t,
max
где a = 2j=1,...,n
Тогда
kj
.
νj (t) · µj (t) = 1.
Таким образом, последовательности µj(t) удовлетворяют соотношению (22), а
последовательности νj(t) ≡µj1(t) удовлетворяют условию (2) с
νj ≥ 2, j = 1, ..., n :vjv(jt(+1)t)=µ(µt(+1)t) ≥ 2 .
При 0 < βj< kjэквивалентное описание пространства Bpωθ(Rn) задается разложениями
(4), для которых (доказательство для скалярного p см. [7], а случай векторного p
доказывается заменой без каких-либо изменений в тексте доказательства)
1
( ∞
∑ h
iθ
)
θ
|f |(Q) ≡
t=0
atkQtkp
и
< ∞
(31)
kf kB kf k∗B≡ inf |f |(Q).
(32)
Q
Пусть последовательность γt≥ 0 такова, что
1
∞
n
(
θθ
∑
t
aγt
Y
νj(t)
1−1
pj
< ∞.
(33)
t=0
j=1
В качестве функций Qt (t = 0, 1, ...) из определения (31) – (32) возьмем функции qt из
леммы 9, и положим
30
∞
∑
(Q) : f (x) =
t=0
qt(x) (2 Lp(Rn)) ,
(34)
Покажем, что для этой функции f выполнено условие (31).
По условию (33) и по свойству (12) функции qt(x) , имеем
∞
∑
h
iθ
∞
∑
t
n
Y
(
1−1
pj
θ
t=0
atkqtkp
t=0
aγt
j=1
νj(t)
< ∞.
Из (34), учитывая (32) и последнее соотношение, получим
1
( ∞
∑ h
iθ
)
θ
kf kB≤ c |f |(Q)
t=0
atkqtkp
< ∞.
Итак, при выполнении условия (33) ряд в (34) определяет некоторую функцию f из
пространства Bpωθ(Rn) .
Теперь докажем, что при выполнении A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ иp11−q11= ... =p1n−q1n
функция f не принадлежит Lq(Rn) .
Сначала рассмотрим случай qj< ∞ хотя бы для одного номера j. Согласно теореме
Литтлвуда - Пэли и неравенства (11), имеем
1
kfkq
∞
∑
|qt (x)|2
!
1
2
τ2
∑
γt
n
Y
νj (t)
1−1
qj
q∗ q∗
.
(35)
t=0
q
=τ1 |
j=1
Если q1 = q2 = ... = qn = +∞ , то в силу (9) получим
kfk∞ ≥ f (0)
∞
∑
t=0
γt
n
Y
j=1
νj (t) .
(36)
Из соотношения (27) и из условий A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ иp11−q11= ... =p1n−q1n, имеем
1
( ∞
[
1
1
]ρ) ρ
+∞ A A˜ =
∑
t=0
a−tν (t) p1−
q1
.
(37)
Положив в лемме 2 α =p11−q11, в силу (37), которое обеспечивает выполнение (3), можно
выбрать последовательность чисел {at}∞t=0, at ≥ 0 так, чтобы
∞
∞
1
1
q∗
∑(at)θ<∞и ∑
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
