t=0 t=0
ata−tν (t) p1−
q1
= ∞.
(38)
До сих пор, на последовательность {γt}из леммы 9 было наложено единственное условие –
ее неотрицательность.
(
Положим γt = ata−t Qnj=1 νj (t)
1
pj
−1
. Тогда в силу первого соотношения из (38)
31
атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. , 2011, №6
∞
∑
t
n
Y
(
1−1
pj
θ
∞
∑
n
tata−t Y
(
1
pj −1
n
Y
(
1−1
pj
θ
∞
∑
t=0
aγt
j=1
vj(t)
=
t=0
a
j=1
vj(t)
j=1
vj(t)
=
t=0
aθt< ∞,
т. е. выполнено (33).
Следовательно, как отметили выше, функция f ∈ Bpωθ(Rn) .
Осталось показать, что f /∈ Lq(Rn) . Для этого достаточно убедиться в том, что ряды в
правых частях (35) и (36) расходятся.
Действительно, пусть qj< ∞ хотя бы для одного номера j. Тогда, в силу (35) и второго
соотношения (38), получим
∞
n
1−1
q∗
∞
n
1
n
q∗
kf kq
∑
t=0
γt
Y
j=1
vj (t)
qj
=
∑
t=0
−t
aat
Y
j=1
vj (t)
pj −1 Y
j=1
1−1
qj
vj (t)
=
∞
n
1
1
q∗
∞
(
1
1
q∗
=
∑
t=0
−1Y
ata
j=1
vj (t)
pj −qj
=
∑
t=0
ata−tv(t)pj−qj
= ∞
Если же qj = ∞ при всех j = 1, ..., n, то q∗= 1. Поэтому, в силу (36) и второго соотношения
из (38), имеем
kf k∞
∞
∑
t=0
γt
n
Y
j=1
vj (t) =
∞
∑
t=0
ata−t
n
Y
j=1
vj (t)
(
1
pj −1
n
Y
j=1
vj (t) =
∞
∑
t=0
ata−t
n
Y
j=1
1
vj (t)pj= ∞.
Тем самым, из соотношений (35) и (36) следует, что f /∈ Lq(Rn) . Теорема доказана.
Замечание. При p = p1 = ... = pn, q = q1 = ... = qn утверждение теоремы 2.4 совпадает с
теоремой 1 из [1]. При несовпадающих pj или несовпадающих qj утверждение теоремы 2.4
является новым.
Перейдем к следствиям доказанной теоремы.
Задача: при каких неулучшаемых соотношениях между числами
n (n = 1, 2, ...) , 0 < θ ≤ ∞, r1 > 0, ..., rn > 0, 1 ≤ p1 < q1 ≤ ∞, . . . , 1 ≤ pn < qn ≤ ∞
имеет место вложение
Br1 ,..., rn
n)⊂ Lq1,...,qn(Rn)?
В случае1
1
p1,..., pn,θ(R
1 1
p1−q1=... =pn −qn ответ на поставленный вопрос дает
Следствие. Пусть
n (n = 1, 2, ...) , 0 < θ ≤ ∞, r1> 0, ..., rn> 0, 1 ≤ p1< q1≤ ∞, . . . , 1 ≤ pn< qn≤ ∞ и
1
1
1
1
p1−q1=... =pn −qn.
Тогда
1) если min
j=1,...,n
qj= q∗<+∞ , то
1
1
1
B | r1,..., rn p1,..., pn,θ(Rn)⊂Lq1,...,qn(Rn)⇔ |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
