О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова (стр. 3 )

Лемма 6. Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj< ∞, j = 1, ..., n и даны последовательности

{νj(t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , удовлетворяющие условию (2) . Тогда для всякой функции

f ∈ Lp(Rn) в представлении

∞

∑

(Q) : f (x) =

t=0

Qt (x) (вLp(Rn)), Qt ∈ mν(t),p

(4)

Функции Qtможно выбрать такими, что

Q0 = 0, kQ1kp ≤ kf kp, kQtkpEν(t−2)(f )p(t = 4, 5, ...) ,

где Eν(t−2)(f)p= Eν1(t−2),...,νn(t−2)(f )p- полные наилучшие приближения целыми

функциями экспоненциального типа порядка νj(t − 2) по j - ой переменной (j = 1, ..., n) .

Доказательство. Пусть f ∈ Lp(Rn) и пусть σν(f, x) сумма Валле-Пуссена порядка

ν = (ν1, ..., νn) функции f (x) (см., напр., [6], стр. 295), т. е.

1 ∫

σν (f, x) = Vν (x − u) f (u) du,

Vν(x) =

n

Y

1

∫ 2νj

πn

sin yjxj

Rn

где

dyj=

n

Y

1

1

[cos νjxj− cos 2νjxj] ,

j=1

νj

νj

xj

j=1

νjx2j

причем для некоторого M (n) > 0 (зависящего только от n ) и всех νj> 0 (j = 1, ..., n)

выполнены неравенства

kVνkL1,...,1(Rn) ≤ M (n) .

18

Так как Vν (f, x) ∈ L1,...,1(Rn) , то в силу неравенства Юнга для смешанной нормы (Лемма 5),

имеем

kσν(f, x)kp kVνk1kf kp.

Отметим, что для всякого f ∈ Lp(Rn) функция σν (f, x) есть целая функция

экспоненциального типа ν . Если fν(x) есть целая функция экспоненциального типа ν , то

для всех x ∈ Rnимеет место

σν (fν , x) = fν (x) .

Равенство σν(fν, x) = fν(x) в случае векторного параметра ν = (ν1, ..., νn) легко следует из

случая скалярного параметра, поскольку ядро Валле-Пуссена определяется как произведение

соответствующих одномерных ядер.

В самом деле, имеет место (ограничимся случаем n = 2, ν = (ν1, ν2) )

1 ∫

σν (fν1,ν2, x1 , x2) = Vν1(x1 − u1) · Vν2(x2 − u2) · fν1,ν2(u1, u2) du1du2 =

π2

R2

=

1 ∫

Vν1(x1− u1) ·

(1∫

Vν2(x2− u2) · fν1,ν2(u1, u2) du2du1= fν1,ν2(x1, x2) .

π

R1

π

R1

Пусть f (x) ∈ Lp(Rn) и пусть gν (x, f) = gν (x) есть функция, наилучшим образом

приближающая f в Lp(Rn) целыми функциями экспоненциального типа ν = (ν1, ..., νn) .

Тогда, учитывая тождество σν (gν , x) ≡ gν (x) и линейность оператора свертки σν , получим

kσv (f, x) − f (x)kp≤ kσv (f − gv , x) + gv (x) − f (x)kp≤ kσv (f − gv, x)kp+

+ kgv(x) − f (x)kp(kVvk1+ 1) kf (x) − gv(x)kpEv(f )p.

Далее, положим (см. также (1))

Q1 = Q1 (f, x) = σν(0)(f, x)

и

Qt = Qt (f, x) = σν(t−1)(f, x) − σν(t−2)(f, x) ?@8 t = 2, 3, ... .

Отсюда имеем (см. (5))

N

∑

(5)

f −

t=1

Qt

p

= f − σν(N−1)pEν(N −1)(f)p→ 0 (N → ∞) ,

что показывает справедливость (4)

Тогда в силу (5)

kQtkp ≤ σν(t−1)(f, x) − f (x)p+ σν(t−2)(f, x) − f (x)kp