Статистична фізика (стр. 12 )

Легко довести, багаточасткове значення енергії буде сумою одночасткових власних значень енергії. А власне значення енергії таке саме, як і у ферміонів:

. (4.9)

4.2 Функція розподілу за мікростанами для ферміонів та бозонів

Ми встановили, що мікростан системи в даний момент часу можна задати з допомогою хвильової функції або з допомогою набору чисел заповнень.

Але через хаотичний рух частинок та їх взаємодію частинки можуть переходити із одного стану в інший. Отже, числа заповнень одночасткових станів будуть з часом змін.

Позначимо через – кількість частинок в стані з хвильовою функцією і енергією , тоді сукупність величин буде задавати кількості частинок в кожному одночастковому стані, тобто у станах з енергією .

Ці числа задані для певного моменту часу називаються числами заповнень одночасткових станів.

Тому важливою характеристикою є середнє значення чисел заповнень одночасткових станів: .

Середнє значення чисел заповнення називається функцією розподілу частинок за одночастковими станами. При цьому даватиме середнє число частинок в кожному одночастковому стані в залежності від енергії цього стану. Зв’язок з енергією відображається індексом “k”.

Обчислимо для довільної хвильової системи за розподілом Гіббса:

. (4.10)

Нагадаємо, що при обчисленні середнього за Гібсоном необхідно дотримуватись умови:

(4.11)

Оскільки сума в (4.10) включає різні набори чисел заповнені, то операцією підсумовування за всіма мікростанами () можна замінити на еквівалентні операції підсумовування за всіма можливими значеннями чисел заповнення:

(4.12)

Важливо, що тут індекс “” можна опустити.

Найважчим моментом є дотримання умови постійності частинок (). Тому для істотного полегшення розрахунків набагато зручніше буде скористатися великим канонічним розподілом, який фіксує число частинок, тоді:

. (4.13)

В цьому випадку – великий термодинамічний потенціал.

Важливо, що сума в (4.13) виконується за всіма можливими числами заповнення в тому числі і за .

Тому виділимо із суми (4.13) суму за зміною :

. (4.14)

Для того, щоб знайти суму (), запишемо умову нормування великого канонічного розподілу Гіббса, в якому виділимо таку ж суму:

. (4.15)

Підставимо:

(4.16)

Введемо позначення:

, (4.17)

. (4.18)

Вираз (4.18) – справедливий для мікрочастинок обох типів: ферміонів і бозонів.

I Ферміони

можуть набувати значень 0;1 (за принципом Паулі)

.

. (4.19)

(II) розділ Фермі-Дірака (дає функцію розподілу для ферміонів, фізичний зміст: дає середнє значення числа заповнюючи одночасно ферміонного стану з енергією ).

II Бозони

Виконавши операції підсумування відповідно до (4.18):

. (4.20)

Розрахуємо :

. (4.21)

Щоб просумувати потрібно, щоб , тобто <0:

. (4.22)

. (4.23)

. (4.24)

Вираз (4.24) – розподіл Бозе-Ейнштейна дає середнє число бозонів в одному бозонному стані з хвильовою функцією і енергією .

4.3 Розподіл Максвелла-Больцмана з урахуванням квантування фазового простору

Розглянемо ідеальний газ, що перебуває в стані термодинамічної рівноваги. Введемо поняття фазового -простору (простір однієї частини). Зрозуміло, що такий простір буде шестивимірний (x, y, z, px, py, pz). Квант такого простору .

Нехай N – загальне число частинок, а – число частинок, координати і яких лежать в межах:

. (4.25)

В фазовому просторі стан кожної частинки зображено однією фазовою точкою. Для того щоб вказати мікростан всієї системи, треба задати положення всіх фазових точок, тобто необхідно задати розподіл фазових точок у -просторі. Позначимо через число фазових точок в довільній -ій комірці фазового -простору. Тоді для того щоб задати мікростан всього газу, необхідно задати число фазових точок в кожній комірці -простору, тобто:

. (4.26)

Оскільки мікростан кожної частинки в результаті ударів змінюється, то сукупність (4.26) змінюється з часом, тому важливе поняття . Введемо заміну в рівняння (4.25):

де – розподіл М.-Б. з урахуванням квантування фазового простору.

Фізичний зміст дав середнє число частинок класичного ідеального газу в стані з енергією , коли газ перебуває в рівновазі з термостатом.

4.4 Розподіл Максвелла – розподіл молекул газу за проекціями їх імпульсу (або швидкості)

В 1860 р. Максвел теоретично довів, що в газі, який перебуває в стані термодинамічної рівноваги, встановлюється розподіл молекул за швидкостями. Тобто, в рівноважному газі завжди буде деяка кількість молекул, що мають як дуже малі, так і дуже великі швидкості. Інакше кажучи, наявність стану термодинамічної рівноваги зовсім не означає, що при цьому всі молекули газу матимуть однакові швидкості.

Особлива важливість розподілу Максвела полягає в тому, що його вигляд не залежить від початкових умов, в яких перебувала система.

Розглянемо довільну систему, частинки якої для простоти можна вважати матеріальними точками.

Будемо виходити із канонічного розподілу Гіббса

, (4.27)