Статистична фізика (стр. 4 )

,

Тому .

Таким чином, сила, що надає масі 5 кг прискорення 0,5 м/с2, дорівнює 2,5 Н, що відповідає 0,26 кГ.

Приклад 2. Точка A рухається в площині (x, y), причому закон її руху задано в полярних координатах: r = r(t), φ = φ(t).

Визначити швидкість і прискорення точки.

Розв’язування

Проведемо додаткові координатні осі ζ і η вздовж радіус-вектора і перпендикулярно до нього, як показано на рис. 1.6. Позначимо за допомогою eζ и eη “нові” одиничні вектори вздовж осей ζ і η, відповідно. Компонента будь-якого вектора вздовж осі ξ називається радіальною, а вздовж осі η – трансверсальною. Якщо точка рухається не по прямій лінії, то вектори eζ і eη з часом змінюють свій напрям. Цим вони відрізняються від постійних ортів i і j. Зв’язок між двома базисами дається відомою формулою обертання системи координат:

.

Диференціюючи перший рядок за часом і порівнюючи результат із другим рядком, отримуємо такий вираз для :

.

Радіус-вектор, за побудовою, колінеарний eζ::

.

При обчисленні вектора швидкості в полярних координатах необхідно враховувати зміни напрямку орта :

.

Проекція називається азимутальною, а проекція - трансверсальною швидкістю. Аналогичним чином обчислюється вектор прискорення:

.

Задача 3. Точка рухається в площині за законом:

з параметрами r0 і a. Визначити траєкторію, швидкість та обидві компоненти прискорення.

Задача 4. Рух точки в площині описується в декартових координатах як x = x(t), y = y(t). Визначити проекції швидкості та прискорення на природній осі, а також радіус кривизни траєкторії.

Задача 5. По похилій площині АВ довжиною 4 м та з кутом підйому α = 15° рівноприскорено підіймають вантаж М вагою G = 200 кГ, постійною силою Р = 65 кГ, що направлена паралельно похилій площині. Визначити, скільки часу потрібно, щоб перемістити вантаж на відстань АВ, якщо коефіцієнт тертя при русі вантажу по похилій площині f = 0,05.

Задача 6. Кульку, маса якої m = 0,5 кг, прив’язано до нитки довжиною 0,7м. Нитка разом з кулькою обертається у вертикальній площині, витрачаючи на один оберт 1 сек. Визначити натяг шнура в моменти найвищого і найнижчого положення кульки, вважаючи, що швидкість залишається постійною при переміщенні по всій довжині кола.

Контрольні питання

1.  Назвати методи дослідження макроскопічних процесів. В чому особливість кожного з них? Назвати недоліки.

2.  Які параметри називаються макроскопічними? Навести приклади.

3.  Що таке зовнішні та внутрішні макроскопічні параметри?

4.  Які параметри називаються адитивними, а які інтенсивними?

5.  Дати визначення фазового простору.

6.  Який фізичний зміст функції Гамільтона?

7.  Фізичний зміст функції розподілу.

8.  В чому полягає Ергодна гіпотеза?

9.  Розкрити фізичну суть ротора, градієнта та дивергенції.

10.  Записати закон збереження фазових точок.

11.  Написати вираз теореми Ліувілля та пояснити її фізичну суть.

12.  Записати рівняння Ліувілля.

13.  Написати сім адитивних інтегралів руху.

14.  Які системи називаються статистично незалежними?

2 СТАТИСТИЧНА МЕХАНІКА РІВНОВАЖНИХ СИСТЕМ

Статистична механіка – розділ фізики, який, використовуючи статистичний підхід теорії ймовірності, вивчає макроскопічні властивості фізичних систем, що складаються із великого числа частинок. В даному розділі розглянуто питання мікроканонічного розподілу, розкрито поняття квазінезалежних підсистем та проаналізовано канонічий розподіл Гіббса.

2.1 Мікроканонічний розподіл

Мікроканонічний ансамбль – це статистичний ансамбль ізольованих систем, які не обмінюються з навколишнім середовищем ні енергією, ні частинками (рис. 2.1).

Якщо , то сталим буде і логарифм функції розподілу.

Рисунок 2.1 – Значення енергії мікроканонічного ансамблю

Але ізольована в енергетичному відношенні система, яка складається з багатьох частинок, є фізичною абстракцією, тому будемо вважати, що значення енергії системи мікроканонічного ансамблю лежать у певному дуже малому інтервалі , поблизу певного значення енергії .

Розглянемо в фазовому просторі дві поверхні постійної енергії. В області лежать мікростани, які реалізують значення повної енергії системи мікроканонічного ансамблю у межах від до . Оскільки функція розподілу визначається тільки повним інтегралом енергії, а величина є постійною, то і функція розподілу буде теж постійна в тих областях, де знаходиться фазова точка.

(2.1)

Вираз (2.1) носить назву мікроканонічного розподілу.

У випадку строго ізольованої системи функція розподілу буде постійною в околі поверхні постійної енергії. Тобто, всі мікростани матимуть однакову ймовірність. Це твердження отримало назву постулату рівноймовірності станів термодинамічної рівноваги ізольованих систем (ергодна гіпотеза).

Якщо врахувати, що для строго ізольованої системи , то цій умові буде відповідати функція розподілу з різним максимумом на поверхні постійної енергії та нульовим значенням за межами цієї поверхні.

Нагадаємо властивості дельта-функцій Дірака.

Якщо задано певну функцію

, (2.2)

яка має різкий максимум в певній області, а за межами цієї області вона всюди наближається до нуля, тоді можна записати таку систему (рис. 2.2):

(2.3)

Тоді її можна визначити через інтеграл:

(2.4)

Рисунок 2.2 – Задання функції Дірака першого роду

Якщо ж задано певну функцію, що змінюється рівномірно на певному проміжку (рис. 2.3)

Рисунок 2.3 – Задання функції Дірака другого роду

Властивість дельта - функції Дірака полягає в тому, що вона знімає знак інтеграла.

Тоді, використавши властивість дельта-функції, рівняння мікроканонічного розподілу має вигляд:

, (2.5)

де с – константа нормування, що обчислюється з умови нормування функцій розподілу:

. (2.6)

Підставивши значення функції розподілу, отримаємо:

. (2.7)

Формула (2.7) еквівалентна такому інтегралу:

. (2.8)

Для того, щоб проінтегрувати цей інтеграл по всьому фазовому просторі, розіб’ємо Г -простір двома поверхнями (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 – Дві поверхні постійної енергії Г-простору

Перетворимо даний вираз, винісши за знак інтеграла величини, що не залежать від :

. (2.9)

Введемо заміну, врахувавши, що дає об’єм області :