Статистична фізика (стр. 6 )

1. Ця величина дає ймовірність того, що фазова точка системи лежить в околі точки з координатами (q, p).

2. Дає ймовірність того, що координати фазової точки системи лежать в межах [q, q+dq], [p, p+dp].

3.  Дає ймовірність того, що координати та проекція імпульсу всіх точок системи лежать в межах:

а проекція імпульсу:

(2.43)

4.  Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система, фазова точка якої лежить в околі точки з координатами (q, p).

5.  Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система координат, фазові точки якої лежать в межах [q, q+dq], [p, p+dp].

6. Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система координат та проекції імпульсів всіх точок, які лежать в межах (п. 3).

(2.44)

Оскільки кількість частинок термостата значно більша кількості системи, то:

(2.45)

В балансі енергій, енергією системи можна знехтувати, тоді вся енергія приблизно рівна енергії термостата:

(2.46)

Об’єднавши (2.44) та (2.46) отримаємо:

, (2.47)

де К – стала Больцмана,

Т – абсолютна температура, величину називають модулем канонічного розподілу.

З (2.47) видно, що модуль канонічного розподілу збігається з абсолютною температурою. Тобто . У випадку, коли проводяться додаткові дослідження:

, (2.48)

тоді функція розподілу

. (2.49)

Визначимо z. Для цього запишемо умову нормування функції розподілу:

(2.50)

Формула (2.50) називається статистичним інтегралом системи. Його важливість полягає в тому, що він несе всю інформацію про систему. Розглянемо ймовірність того, що енергія системи набуває значень від до . Для цього виділимо в фазовому просторі область, що обмежена двома поверхнями.

Щоб знайти ймовірність попадання фазової точки запишемо:

. (2.51)

Тут – об'єм області, – число мікростанів. Тобто, ймовірність залежить не стільки від значення самої енергії, скільки визначається числом мікростанів, які цю енергію реалізують. Введемо функцію розподілу за енергією.

.

Це співвідношення ймовірності до енергії інтегрування, а не похідна:

. (2.52)

Функція розподілу визначає густину мікростанів з певною енергією. Обчислимо середнє значення деякої величини :

. (2.53)

Вираз (2.53) має назву середнє значення за розподілом Гіббса.

За допомогою цієї формули легко обчислити функцію Гамільтона в термостаті:

Функція Гамільтона збігається із середньою енергією системи. З мікроканонічного розподілу можна вивести всі інші розподіли. Отриманий нами канонічний розподіл справедливий для будь-якої системи.

З урахуванням цього канонічний розподіл Гіббса набуває вигляду:

. (2.54)

Маючи вираз для вільної енергії системи, можна обчислити ентропію:

. (2.55)

Зв’язок між F, S та H записується так:

.

2.4 Великий канонічний розподіл

Розглянемо систему «С», що знаходиться в термостаті. Схематично це показано на рисунку 2.6.

Рисунок 2.6 – Система « С » в термостаті

Будемо вважати, що система буде обмінюватися з термостатом не тільки енергією, але й частинками. Для цього випадку функція розподілу системи і термостата матиме вигляд:

. (2.56)

Функція розподілу залежить від числа частинок. Виділимо функцію розподілу системи:

. (2.57)

Після ряду перетворень отримаємо функцію розподілу частинок для системи в термостаті, яку ще називають великим канонічним розподілом:

, (2.58)

де с – константа нормування,

– хімічний потенціал системи (енергія, що припадає на одну частинку),

– енергія системи тоді, коли вона містить частинок.

Надалі індекс с будемо упускати.

Знайдемо константу нормування. Для цього необхідно виконати процедуру інтегрування за всіма можливими станами системи і врахувати можливість зміни кількості частинок за допомогою суми по N.

. (2.59)

Перепишемо дану суму

. (2.60)

Обчислимо середнє значення величини .

. (2.61)

Дане рівняння визначає середнє значення деякої фазової величини за великим канонічним розподілом Гіббса.

Існує можливість взаємозаміни мікроканонічного, канонічного і великого канонічного розподілу.

2.5 Співвідношення Гейзенберга та квантування фазового простору

В класичній фізиці стан системи задавався величинами:

(2.62)

Але в квантовій механіці координату та проекцію імпульсу неможливо задати одночасно та абсолютно точно тому, що

, (2.63)

. (2.64)

Виберемо такі значення добуток яких буде строго рівний h:

. (2.65)

Візьмемо об’єм фазового простору, який буде дорівнювати

. (2.66)

Таким чином, з урахуванням співвідношення Гейзенберга, бачимо, що фазовий простір розбивається на комірки величиною (рис. 2.7).

Рисунок 2.7 – Мінімальний об’єм фазового простору

Важлива особливість в тому, що при попаданні точки в комірку неможливо точно сказати, в якому місці в комірці знаходиться фазова точка. Якщо дві фазові точки попадають в одну комірку, то вони задають один мікростан і поняття мікростану стає дискретним. Отже, всі мікростани можна пронумерувати.

Запишемо канонічний розподіл Гіббса, що дає ймовірність попадання фазової точки в окіл мікростану:

. (2.67)

Введемо ряд замін:

– це той стан, що відповідає енергії Н;

– розмір елементарної комірки;

– ймовірність попадання фазової точки в мікростан n.

Тоді рівняння (2.67) перепишеться:

; (2.68)

;