Статистична фізика (стр. 13 )

(4.28)

(4.29)

Знайдемо ймовірність того, що проекції імпульсу довільної i-ї частинки (молекули) системи лежать в межах . Для цього необхідно проінтегрувати (4.28) за координатами всіх частинок та проекцій імпульсу всіх частинок, крім і-ї.

.

Виділимо з функції Гіббса системи кінетичну енергію і-ї молекули:

(4.30)

Зауважимо, що ми не конкретизуємо вигляд функції Гіббса – . Тому отримані нами результати будуть справедливі не тільки для ідеального, а і для реального газу, а також для рідин і твердих тіл.

Перепишемо вираз для

Константу С легко знайти з умови нормування

(4.31)

Використовуючи значення інтеграла Пуассона

.

Знайдемо с:

. (4.32)

Отже,

. (4.33)

Нагадаємо, що співвідношення (4.33) дає ймовірність того, що проекція імпульсу довільної і-ї частинки лежить в межах .

Оскільки даний вираз справедливий для молекули, то індекс ’і’ в ньому можна опустити

. (4.34)

Функцію розподілу за імпульсам частинки системи легко знайти:

. (4.35)

Функція розподілу (4.35) дає густину ймовірності різних значень проекцій імпульсу довільної молекули системи і називається розподілом Максвелла за проекцією імпульсів молекул рівноважного газу.

Фізичний зміст полягає в тому, що величина – це ймовірність того, що проекція імпульсу довільної молекули газу лежить в межах .

З виразу (4.35) можна отримати функції розподілу за відповідними проекціями імпульсу

,

, (4.36)

.

Ці функції мають вигляд гауссових кривих.

Функція розподілу за швидкостями відповідно запишеться:

Врахувавши, що

. (4.37)

Вираз (4.37) називають розподілом Максвелла за проекцією швидкості молекули рівноважного газу

. (4.38)

Найбільш ймовірна швидкість знаходиться так:

Береться похідна і=0,

.

4.5 Розподіл Максвелла-Больцмана

Розглянемо ідеальний газ, що займає об’єм V і має N частинок та перебуває в рівновазі.

Отримаємо розподіл молекул за x та . Оскільки ці параметри визначають мікростан газу, то важливо знайти розподіл газу за цими параметрами.

Для прикладу розглянемо ідеальний одноатомний газ, що перебуває в зовнішньому полі.

Запишемо функцію Гіббса такого газу:

, (4.39)

де – потенціальна енергія і-ї частинки в зовнішньому полі.

Знайдемо ймовірність того, що , що x та і-ї молекули лежать в межах

Після інтегрування (4.39)

.

Цей розподіл справедливий для частинок.

, (4.40)

дає ймовірність того, що x та лежать в межах:

. (4.41)

Використавши позначення

. (4.42)

тоді

. (4.43)

Вираз (4.43) – статистичний інтеграл однієї частинки.

З урахуванням (4.43)(4.40)

.

Розподіл Максвелла-Больцмана

Фізичний зміст: дає ймовірність того, що x та молекул ідеального газу лежать в межах:

Розподіл Максвела-Больцмана розкладається на два незалежні розподіли:

. (4.44)

Це значить, що ці розподіли є статистично незалежними (ймовірності певних значень x та є статистично незалежними подіями).

Незалежний від наявності силового поля розподіл за або V буде максвеллівським.

Він справедливий лише для рівноважного газу.

Надалі будемо користуватися таким розподілом М – Б, якщо позначити функцію Гамільтона для 1-ї молекули:

, (4.45)

.

Тоді розподіл Максвела-Больцмана:

. (4.46)

Приклад 1. Визначити силу F, що діє на частинку, яка знаходиться у зовнішньому однорідному полі сили тяжіння, якщо відношення n1/n2 концентрацій частинок на двох рівнях, що розташовані один від одного на Δz=1 м, дорівнює e. Температуру T вважати всюди однаковою і рівною 300 К.

Розв’язування

Розподіл частинок в силовому полі:

,

де U=mgz – потенціальна енергія частинок. Тому:

.

Звідси:

, оскільки . Але сила .

Тому: . Звідси

Приклад 2. На скільки зменшиться атмосферний тиск p = 100 кПа при підйомі спостерігача над поверхнею Землі на висоту h = 100 м? Вважати, що температура T повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.

Розв’язування

Зі зміною висоти тиск змінюється за законом:

.

Тоді

Задача 3. На якій висоті над поверхнею Землі атмосферний тиск вдвічі менший, ніж на її поверхні? Вважати, що температура T повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.