Статистична фізика (стр. 5 )

. (2.10)

Тоді вираз (2.9) перепишеться:

. (2.11)

Скориставшись виразом (2.4), запишемо:

. (2.12)

Звідки

. (2.13)

Отже

. (2.14)

Формула (2.14) носить назву мікроканонічний розподіл.

Фізичний зміст – величина:

. (2.15)

1. Ця величина дає ймовірність того, що фазова точка системи лежить в околі точки з координатами (q, p).

2. Дає ймовірність того, що координати фазової точки системи лежать в межах [q, q+dq], [p, p+dp].

3. Дає ймовірність того, що координати та проекція імпульсу всіх точок системи лежать в межах:

,

а проекція імпульсу:

. (2.16)

4. Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система, фазова точка якої лежить в околі точки з координатами.

5.  Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система координат, фазові точки якої лежать в межах [q, q+dq], [p, p+dp].

6. Дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система координат та проекції імпульсів всіх точок які лежать в межах (п. 3).

Знайдемо тепер густину ймовірності різних мікростанів системи, як функцію енергії .

Для цього запишемо ймовірність того, що енергія ізольованої системи лежить в межах від до . Оскільки всі мікростани з цим значенням енергії лежать в даній області , то ймовірність буде дорівнювати ймовірності попадання фазової точки в область .

. (2.17)

Введемо функцію розподілу за енергією:

. (2.18)

2.2 Квазінезалежні підсистеми та канонічний розподіл Гіббса

Розглянемо систему, що оточена іншою системою набагато більших розмірів і настільки великою теплоємністю, що якщо із системи “С” виділяється деяка кількість тепла, то друга система – термостат (Т-Т) поглинає її миттєво (рис. 2.5)

 

Рисунок 2.5 – Система “С” в термостаті

Обчислимо функцію розподілу що перебуває в термодинамічній рівновазі з термостатом. Вважатимемо, що система “С” і термостат є ізольованими. Тоді функція розподілу системи термостата буде мікроканонічним розподілом:

. (2.20)

Оскільки нас цікавить тільки функція розподілу системи при будь яких значеннях параметра термостата , то для того щоб ці змінні виключити, необхідно по та проінтегрувати за всім фазовим простором термостата:

. (2.21)

Для того щоб знайти дану функцію розподілу , треба знайти спосіб, як розділити від () в функції Гамільтона. Для цього врахуємо, що функція Гамільтона для термостата пропорційна числу частинок термостата, а системи “С” числу частинок в системі “С”:

Існує також енергія взаємодії, яка також пропорційна числу частинок, що взаємодіють: . Тоді функцію Гамільтона можна розписати:

, (2.22)

де

(2.23)

Оскільки взаємодія відбувається лише на границях, то кількість взаємодіючих частинок:

(2.24)

Оскільки енергія пропорційна кількості частинок, то можна написати, що енергія взаємодії значно менша ніж взаємодії термостата.

Енергія взаємодії мала величина, але вона дуже цінна, тому що саме завдяки їй система перебуває в термодинамічній рівновазі. За співвідношенням (2.24) в балансі енергій великої системи енергією взаємодії можна знехтувати. Такі системи називаються квазінезалежними. Тоді формула (2.22) перепишеться так:

. (2.25)

Запишемо функцію розподілу:

, (2.26)

де енергія термостата змінюється в межах:

. (2.27 )

Спочатку проінтегруємо за одним кільцем, а потім проінтегруємо за всіма іншими кільцями:

,

. (2.28)

Введемо позначення:

, (2.29)

. (2.30)

Скористаємося функцією Дірака:

. (2.31)

Знайдемо спосіб обчислення об’єму та (об’єм кільця, що лежить в межах від до ().

, (2.32)

(2.33)

При цьому множина запишеться у вигляді:

Обчислюючи для випадку, коли роль термостата відіграє газ, який можна вважати ідеальним, функція Гамільтона перепишеться:

. (2.34)

Оскільки функція Гамільтона не залежить від координат, то за нею можна проінтегрувати в межах об’єму, де не перебуває газ:

, (2.35)

де вказує на те, що інтеграл тривимірний,

– область інтегрування.

, (2.36)

(2.37)

Таким чином радіус сфери буде рівним ,

. (2.38)

Отже, перепишемо

(2.39)

(2.40)

.

Отже, проаналізуємо даний вираз:

. (2.41)

Вираз (2.41) називається канонічним розподілом Гіббса для системи термостатів.

2.3 Аналіз канонічного розподілу Гіббса

Функція розподілу має такий фізичний зміст:

. (2.42)