Статистична фізика (стр. 7 )

. (2.69)

Вираз (2.69) задає квантову статистичну суму, яка є повним аналогом статистичного інтегралу. Врахувавши (2.68) та (2.69), запишемо:

. (2.70)

Цей вираз описує квантово – канонічний розподіл Гіббса.

Фізичний зміст: дає ймовірність того, що фазова точка системи попадає в мікростан з енергією .

Крім того, в квантовій механіці відомий принцип тотожності частинок (рис. 2.8):

Рисунок 2.8 – Схематичне зображення частинок в одному мікростані

За принципом тотожності в квантовій механіці всі ці мікростани рівні між собою. Якщо в системі n частинок, то в ній можливо перестановок, що описують один мікростан системи.

Приклад 1. Знаючи функцію розподілу молекул за швидкостями в деякому молекулярному пучку , знайти вираз для:

1) найбільш ймовірної швидкості vв,

2) середньої арифметичної швидкості <v>.

Розв’язування

Найбільш ймовірна швидкість vв може бути знайдена із умови .

,

Середню арифметичну швидкість <v> можна визначити за загальним правилом визначення середнього:

Функція розподілу молекул за швидкостями уже нормована на одиницю, тобто . З врахуванням нормування матимемо:

. Підставимо вираз f(v) із функції розподілу молекул за швидкостями в дану формулу:

.

Винесемо величини, які не залежать від v, за знак інтеграла:

.

Даний інтеграл можна звести до табличного:

, підставивши .

Отримуємо формулу:

.

Задача 2. Визначити частку w молекул, енергія яких знаходиться в межах від ε1 = 0 до ε2 = 0,01kT.

Задача 3. Визначити відносне число w молекул ідеального газу, кінетичні енергії яких знаходяться в межах від нуля до значення, що дорівнює 0,01 εв (εв — найбільш ймовірнісне значення кінетичної енергії).

Задача 4. Балон місткістю V=10 л містить водень масою m = 1 г. Визначити середню довжину вільного пробігу <l> молекул.

Задача 5. Знайти число N всіх співударів, які відбуваються протягом t = 1 с між всіма молекулами водню, що займає при нормальних умовах об’єм V = 1 мм3.

Задача 6. Знайти середню тривалість <τ> вільного пробігу молекул кисню при температурі T = 250 К і тиску p = 100 Па.

Контрольні питання

1.  Дати визначення мікроканонічного ансамблю.

2.  Дати твердження постулату рівноймовірності станів.

3.  Визначення термодинамічної рівноваги ізольованих систем.

4.  Властивості дельта-функцій Дірака.

5.  Подати вираз мікроканонічного розподілу.

6.  Фізичний зміст мікроканонічного розподілу.

7.  Канонічний розподіл Гіббса.

8.  Які системи називаються квазінезалежними?

9.  Що таке статистичний інтеграл системи?

10.  Записати вираз для середнього значення фізичної величини за розподілом Гіббса.

11.  Написати формулу взаємозв’язку ентропії, вільної енергії, внутрішньої енергії та температури.

12.  Надати вираз для великого канонічного розподілу.

13.  Записати вираз, що описує квантово-канонічний розподіл Гіббса.

14.  Розкрити суть принципу тотожності в квантовій механіці.

3 СТАТИСТИЧНА ТЕРМОДИНАМІКА

Статистична термодинаміка – це розділ статистичної фізики, який присвячено обґрунтуванню законів термодинаміки на основі взаємодії і руху частинок, які складають систему. Для систем в рівноважному стані статистична термодинаміка дозволяє обчислювати термодинамічні потенціали, записувати рівняння станів, умови фазових і хімічних рівноваг. Нерівноважна термодинаміка дає обґрунтування співвідношень термодинаміки необоротних процесів (рівнянь перенесення енергії, імпульсу, маси та їх граничних умов), а також дозволяє обчислити кінетичні коефіцієнти, які входять у рівняння перенесення.

3.1 Основне рівняння статистичної термодинаміки (І закон термодинаміки як наслідок канонічного розподілу)

Статистична термодинаміка – розділ статистичної фізики, основним завданням якого є обґрунтування законів термодинаміки за допомогою основних принципів статистичної фізики.

Нагадаємо:

Макроскопічні параметри (що характеризують систему в цілому: тиск, внутрішня енергія) в стані термодинамічної рівноваги називаються рівноважними термодинамічними параметрами. Внутрішні термодинамічні параметри слід розглядати як середні значення відповідних термодинамічних мікроскопічних параметрів. Будь-яке середнє деякої величини – це той параметр, з яким працюють експериментально

. (3.1)

Таким чином, в основу статистичної термодинаміки покладено цілком природне твердження про те, що внутрішня енергія макроскопічної системи тотожна із середньою енергією системи. Оскільки в системі, що містить велике число частинок і знаходиться в стані термодинамічної рівноваги, середнє значення практично збігається з найбільш ймовірним значенням енергії, то можна сформувати твердження: внутрішня енергія будь-якої макроскопічної системи являє собою енергію теплового руху та взаємодію молекул, з яких побудована дана система. Нагадаємо: зовнішні параметри системи – це такі параметри, які характеризуються розміщенням і рухом частинок, що не належать системі, яка досліджується. Позначимо сукупність зовнішніх параметрів через а

.

Простою будемо називати таку систему, для якої зовнішні параметри а збігаються з об’ємом (тобто система, в якій є тільки один зовнішній параметр)

,

де N – число частинок системи.

Як бачимо, статистична фізика дає можливість теоретично розрахувати термодинамічні параметри і знайти їх залежність від температури та зовнішніх параметрів системи. Наприклад, внутрішня енергія розраховується за формулою:

. (3.2)

Розглянемо як буде змінюватись функція Гамільтона системи при зміні зовнішніх параметрів. Нехай система перебуває в мікростані) (q, p) і деякий і-ий зовнішній параметр змінюється на деяку величину da. Тоді:

, (3.3)

а зміна внутрішньої енергії системи буде обчислюватись:

.

Якщо енергія системи змінилась, це значить, що система виконала роботу або над системою виконали роботу, тоді виконана робота:

. (3.4)

Робота – це добуток сили на переміщення. Отже, є аналог сили – узагальнена сила в мікростані .

Порівнявши формули (3.3) та (3.4) отримаємо :

(3.5)

Тоді середнє значення узагальненої роботи:

, (3.6)

, (3.7)

, (3.8)

. (3.9)

Формула (3.8) показує, що це робота, яка виконана системою при зміні всіх зовнішніх параметрів, і оскільки ця робота – параметр макроскопічний, то вона виражається через усереднене значення узагальненої сили.

3.2 Зв'язок термодинамічних параметрів з вільною енергією системи. Формула Гіббса-Гельмгольца

Покажемо, як можна термодинамічні параметри виразити через вільну енергію системи. Для цього спочатку запишемо умову нормування канонічного розподілу:

. (3.10)

Продиференціюємо рівняння (3.10) за температурою

. (3.11)

Вираз в фігурних дужках – це середнє значення . Отже, можна записати:

. (3.12)

Врахувавши, що середнє значення функції Гамільтона збігається з внутрішньою енергією системи , отримаємо вираз