Статистична фізика (стр. 2 )

-  внутрішні – такі параметри, які описуються рухом і взаємодією тих частинок, які відносяться до даної системи;

Стосовно газу: внутрішні параметри (р, Т),

зовнішні параметри (V).

Ще макроскопічні поділяються на:

1) адитивні (екстенсивні);

2) інтенсивні.

Адитивні – це такі параметри, які пропорційні кількості частинок (прикладом є внутрішня енергія: чим більше частинок тим більша внутрішня енергія) .

Інтенсивні – це такі параметри, які не залежать від кількості частинок (прикладом є температура).

Властивості системи найпростіше вивчити в стані термодинамічної рівноваги - це стан, в який проходить система, якщо її ізолювати (відсутність макроскопічних потоків).

В стані термодинамічної рівноваги ступінь хаотичності руху найбільший в порівнянні з неврівноваженою системою.

Опишемо макроскопічну систему, з точки зору її макроскопічної будови. Для цього необхідно задати фізичний зміст кожної частинки системи, тобто координати та проекції її імпульсів. Якщо задано координати та проекції імпульсу усіх частинок, то кажуть, що задано мікростан системи.

Розглянемо систему, частинки в якій вважаються матеріальними точками. І нехай в ній N частинок, з m масою кожної частинки, позначимо хі, уі, zі – координати і-ї частинки. Тоді сукупність величин задають конфігурацію системи (формула 1.1):

х1, у1, z1,х2, у2, z2...хn, yn, zn . (1.1)

Якщо Vix, Viy, Viz – проекції швидкості і-тої частинки, то (1.2) буде задавати проекцію всіх швидкостей частинок:

V1x, V1y, V1z,…Vnx, Vny, Vnz . (1.2)

Сукупність величин (1.1) та (1.2) задає мікростан системи. Зручно для опису вводити узагальнювальні координати (формула 1.3):

q1, q2, q3…qs , (1.3)

де s – число ступенів вільності: число незалежних координат за допомогою яких можна визначити положення системи.

Сукупність величин (1.3) еквівалентна (1.1), а

S = 3N.

З курсу теоретичної механіки відомо, що кожній узагальненій координаті можна зіставити узагальнений імпульс:

де – функція Лагранжа.

Тоді сукупність величин

р1, р2, р3,...рs (1.4)

буде повністю еквівалентна сукупності величин (1.2), а система:

(1.5)

задає мікростан системи.

Проаналізуємо поняття нескінченно близьких мікростанів. Оскільки всі частинки перебувають у безперервному русі, то координати всіх частинок є функціями часу

,

отже (1.6)

Тоді для моменту часу dt можна записати:

(1.7)

Системи (1.6) та (1.7) називаються безмежно близькими системами.

1.3 Поняття фазового простору

Для опису стану макроскопічної системи з мікроскопічної точки зору зручно ввести поняття фазового простору.

Фазовий простір – це такий 2s вимірний простір, на якому відкладаються координати та проекції імпульсів усіх частинок системи.

Очевидно, що мікростан системи в такому просторі задається точкою, яку будемо називати фазовою точкою (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Зображення фазової точки в фазовому просторі

Проведемо осі: вісь абсцис буде відповідати всім координатам, а вісь ординат – проекціям імпульсів. Тоді мікростан системи будемо записувати за допомогою величин (q, p).

Зрозуміло, що безмежно близьким мікростанам до даного стану буде мікростан (q+dp, p+dp).

Розглянемо елементний об’єм фазового простору :

(1.8)

Знайдемо залежність узагальнювальних координат та проекцій імпульсу від часу, для цього скористуємося формулою:

(1.9)

де Н – функція Гамільтона системи ( її повна енергія).

Якщо задати функцію Гамільтона і розв’язати систему (1.9), то отримаємо систему (1.10):

(1.10)

Рівняння (1.10) це рівняння фазової траєкторії системи. Оскільки всі частинки хаотично рухаються, то координати та проекції імпульсу їх з часом будуть змінюватися. Тобто, фазова точка системи буде переміщуватися у фазовому просторі, описуючи фазову траєкторію.

На основі теореми Коші легко бачити, що фазові траєкторії системи не перетинаються, якщо мова йде про одну фазову траєкторію. В деяких випадках зручно користуватися поняттям фазового μ-простору – це простір однієї частинки.

В стані термодинамічної рівноваги системи макростан не змінюється, а мікростани постійно змінюються. Рівноважний стан характеризується найбільшим числом мікростанів.

1.4 Функція розподілу в фазовому просторі

Статистичний ансамбль рівноважної системи – набір різних мікростанів, що відповідають одному й тому ж макростану.

Оскільки той чи інший мікростан системи, в силу хаотичного руху мікрочастинок, є подія випадкова, то неможливо точно вказати в якому стані перебуває система.

Введемо деяку функцію мікростану:

. (1.11)

Ця функція має такий фізичний зміст:

. (1.12)

1.  Функція дає ймовірність того, що фазова точка системи лежить в околі точки з координатами (q, p).

2.  Функція дає ймовірність того, що координати фазової точки системи лежать в межах [q, q+dp], [p, p+dp].

3.  Функція дає ймовірність того, що координати всіх точок системи лежать в межах:

,

а проекції імпульсів:

. (1.13)

4.  Функція дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система, фазова точка якої лежить в околі точки з координатами (q, p).

5.  Функція дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система, координати фазової точки якої лежать в межах [q, q+dp], [p, p+dp].

6.  Функція дає ймовірність того, що серед систем статистичного ансамблю є система координат та проекції імпульсів всіх точок, які лежать в межах:

.

З виразу (1.12) бачимо, що функція , яку ще називають функцією розподілу в фазовому просторі, дає густину ймовірностей фазових станів в системі (функція розподілу – означає, що ця функція розподіляє мікростани за їх ймовірностями реалізації).

Якщо в фазовому просторі задано досить велику область (рис. 1.2), то ймовірність попадання визначається таким чином :

. (1.14)

Рисунок 1.2 – Зображення елемента конфігураційного простору

Якщо взяти інтеграл по всьому фазовому просторі, то ймовірність буде рівна 1

.

Домовимось в даному інтегралі не вказувати границь інтегрування, хоча інтеграл при цьому буде визначеним.

1.5 Макроскопічні величини як фазові середні мікроскопічних змінних

Основна ідея статистичної фізики і полягає в тому, що фізичні властивості системи визначаються рухом і взаємодією частинок з яких вона складається, тобто всі фазові властивості повинні залежати від її мікростану (прикладом є внутрішня енергія).

Отже, в загальному випадку можна записати, що довільна макроскопічна величина А залежить від мікростану системи:

. (1.15)

На практиці використовують усереднене значення фазової величини (залежність А(t) носить нерегулярний характер, рис. 1.3).

Рисунок 1.3 – Залежність деякої фізичної величини А від часу

На інтервалі часу Т середнє значення А визначається:

, (1.16)

звідки . (1.17)

Отже, істинне середнє значення величини А за часом:

. (1.18)

Для того, щоб його розрахувати, необхідно знати залежність q(t) та p(t), тобто фазову траєкторію системи, це доволі складно.

Інші міркування: розглянемо інші математичні сподівання величини А:

. (1.19)