Статистична фізика (стр. 3 )

Формула (1.19) носить назву фазової середньої величини.

В статистичній фізиці робиться припущення, що фазова середня (1.19) і середнє значення фізичної величини (1.18) рівні між собою. Це твердження дістало назву Ергодна гіпотеза:

. (1.20)

Вона дає спосіб обчислення середнього значення фізичної величини. Якщо можна було б обчислити середнє значення фізичної величини за часом, то для цього необхідно було б задати величину кількості початкових координат і моментів імпульсів для визначення фазової траєкторії. Для визначення ж середньої фазової величини необхідно знати лише ймовірність різних мікростанів в системі. Це означає, що середнє значення величини А буде мати ймовірний характер. Але обчислені за допомогою (1.19) середні значення фізичної величини фактично не будуть відрізнятися від реальних, тобто вони будуть достовірні.

1.6 Теорема Ліувілля

Встановлено, що для обчислення середнього значення будь-якої величини А необхідно знати функцію розподілу. Знайдемо властивості цієї функції, а саме, як ця функція залежить від часу.

Розглянемо ізольовану систему. В ній розглянемо статистичний ансамбль ізольованих систем, тобто велику кількість тотожних копій М>>1 (рис. 1.4).

Мікростан кожної з таких систем буде зоображатись в просторі точкою.

Рисунок 1.4 – Статистичний ансамбль ізольованих систем

Позначимо густину цих точок через .

Якщо розглянути окрему систему, то густина ймовірності її станів буде задаватися

.

Для таких копій

. (1.21)

Якщо число копій М стале, то сталим буде і число фазових точок для цього статистичного ансамблю. Це означає, що для числа фазових точок можна записати закон збереження.

Запишемо його за законом збереження заряду в електронній механіці.

В диференційній формі цей закон має вигляд:

, , (1.22)

де е – густина заряду;

– густина струму;

– швидкість руху заряду.

Нагадаємо основні залежності, що дають змогу дослідити векторні та скалярні поля :

1.  Градієнт визначає напрям, за яким швидкість зміни функцій найбільша:

.

2.  Ротор визначає завихреність поля:

.

3.  Дивергенція визначає наявність джерел або стоків поля:

.

Аналогічно запишемо закон збереження фазових точок:

, (1.23)

де – це узагальнена дивергенція, що береться від узагальнених координат.

,

де – швидкість руху фазових точок в момент часу t в околі точки з координатами (q, p).

, (1.24)

тоді узагальнена швидкість

,

. (1.25)

Ввівши коефіцієнт пропорційності між густиною розподілу і функцією розподілу (згідно із означенням статистичного ансамблю)

, (1.26)

та підставивши (1.26) у (1.23) отримаємо:

. (1.27)

Це рівняння неперервності у фазовому просторі числа фазових точок.

Розпишемо (1.27)

, (1.28)

, (1.29)

де , – легко знайдемо з рівнянь Гамільтона:

(1.30)

Рівняння Гамільтона (1.30) задають рівняння фазової траєкторії системи.

Підставимо (1.30) у другий доданок рівняння (1.29)

. (1.31)

Отже, можна записати:

. (1.32)

Отже, формула (1.32) є повна похідна від функції за часом

. (1.33)

Вираз (1.33) носить назву – теорема Ліувілля.

Теорема Ліувілля читається – функція розподілу постійна, не змінюється з часом. Цій теоремі можна надати дещо іншого змісту.

Фазові точки в фазовому просторі переміщуються як нестислива рідина, тобто форма може змінюватися, а об’єм залишається постійним (рис. 1.5).

Рисунок 1.5 – Зображення фазових точок в фазовому просторі

Рівняння (1.32) можна переписати:

. (1.34)

Другий доданок в формулі (1.34) це дужка Пуассона, а рівняння (1.34) носить назву – рівняння Ліувілля.

Важливість теореми Ліувілля – якщо в якийсь момент часу відома ймовірність знаходження фазової точки в об’ємі фазового простору, то вона буде відома і в будь-який інший момент часу. В силу цього з’являється можливість замість початкових умов прийняти статистичне допущення про рівномірність станів, що зображуються елементами простору рівного об’єму.

1.7 Зв’язок статистичного розподілу з адитивними законами енергії

З теореми Ліувілля випливає, що функція розподілу повинна залежати від таких і , величини яких не залежать від часу, тобто вони будуть інтегралами руху.

Відомо, що в механіці є 7 адитивних інтегралів руху:

(1.35)

де – закон збереження енергії.

– закон збереження імпульсу.

– закон збереження моменту імпульсу.

Функція розподілу повинна виражатися через інтеграл руху.

Введемо поняття статистично-незалежної системи. Дві системи називаються статистично-незалежними, якщо між мікростанами цих систем немає ніякої взаємодії.

. (1.36)

Функція розподілу не є адитивною (бо тоді було б )

, (1.37)

, (1.38)

де – адитивна константа; та – деякі вектори (для того, щоб добуток дав скаляр).

Тільки така залежність забезпечує адитивність логарифма . Оскільки в нашому випадку відсутнє обертання, то .

Отже, , логарифм функції розподілу повністю визначається тільки повною енергією системи.

Приклад 1. Вільна матеріальна точка, вага якої 5 кГ, рухається прямолінійно з прискоренням 50 см/сек2. Визначити силу, яка прикладена до точки.

Розв’язування

Виразим о значення обох даних величин в одиницях системи СІ. Оскільки точка важить 5 кГ, то її маса m = 5 кг, прискорення точки .

Відповідно до основного закону динаміки: