Среди приложений математических моделей заболеваний для решения практических задач большое значение имеет задача прогноза течения и исхода болезни для конкретного человека. Чтобы воспроизвести с помощью модели течение заболевания у конкретного человека, нужно определить параметры модели по данным наблюдений за динамикой фазовых переменных. Методы статистического оценивания параметров моделей заболеваний по данным лабораторных и клинических наблюдений исследуются в работах [31, 32].
Подходы к оценке величин параметров моделей можно разделить на два класса: детализирующие и обобщающие. Обобщающий подход предложен в работе [37]. Этот подход основан на предположении о согласованности изменений скоростей биохимических и физиологических процессов в организме с вариациями индивидуального для каждого организма параметра подобия. В этом случае оценка параметров модели сводится к нахождению одного параметра, а остальные меняются пропорционально различным степеням параметра подобия. Детализирующий подход основан на использовании априорной информации. Для оценки параметров используются данные непосредственно не связанные с конкретным инфекционным заболеванием, но характеризующие аналогичные процессы, наблюдаемые в экспериментах.
Основная трудность, с которой связана идентификация параметров, заключается в том, что оценить параметры можно только к концу заболевания, когда прогнозы его течения теряют свою актуальность. Решить эту проблему можно с использованием персонализации модели заболевания. В связи с этим высказал идею о возможности введения в модель инфекционного заболевания персонального параметра, значение которого можно определять по доступным для измерений физиологическим характеристикам организма. В монографии [38] рассматривается проблема персонализации модели на основе рассмотрения движений и взаимодействий частиц в жидких средах организма. Чёткая формулировка процедуры параметризации приведена в работе [35]. Доказательства сформулированных утверждений представлены в статье [45].
Возможность параметризации показана в монографии [38] на модели углеводного обмена с применением данных наблюдений за изменением концентрации глюкозы в крови у людей разного возраста после приёма известного количества глюкозы. Реакция на отклонение концентрации глюкозы от нормальных значений у людей разного возраста различна. Эти различия описаны изменением лишь одного персонального параметра при фиксированных значениях базовых параметров, соответствующих организму "среднего" человека.
Способы введения в базовую модель инфекционного заболевания управляющих функций рассматриваются в работах [29, 30]. В указанных работах поставлены задачи оптимального управления иммунным ответом при острой и хронической форме заболевания. Управление при острой форме основано на реализации иммунотерапии, которая заключается во введении донорских антител. При хронической форме рассматривается реализация биостимуляции. С помощью принципа максимума Понтрягина построены программы лечения, а также проведено сравнение их эффективности.
Нестандартные подходы к управлению иммунным ответом рассматриваются в работах [40, 41]. В статье [41] предложен алгоритм дискретного управления иммунным ответом. Идея алгоритма заключается в том, что динамику антигенов нужно вывести на желаемое состояние, соответствующее в некотором смысле "идеальному" иммунному ответу. На основе базовой модели инфекционного заболевания построена математическая модель влияния иммунотерапии на динамику иммунного ответа, позволяющая анализировать динамику донорских антител. Вопросы идентификации параметров математических моделей иммунного ответа рассматриваются в работе [40]. Специфика данного подхода заключается в том, что предложенный алгоритм позволяет одновременно идентифицировать параметры модели и строить управление.
Таким образом, мы рассмотрели ряд подходов к математическому моделированию иммунного ответа при инфекционных заболеваниях. Отметим, что представленный обзор во многом опирается на материал монографии [23]. По мнению авторов, особый интерес представляет направление, в основе которого лежит базовая математическая модель инфекционного заболевания. Данная модель обладает рядом отличительных особенностей, позволяющих использовать её как при теоретических исследованиях иммунной системы, так и в прикладных областях, связанных с анализом экспериментальных данных.
Заключение
Математическое моделирование иммунного ответа при инфекционных заболеваниях интенсивно развивается, в результате чего создаются новые модели, формулируются новые иммунологические гипотезы и идёт накопление знаний о механизмах развития заболевания и возможностях влияния на его исход. Каждая решённая задача порождает новый круг вопросов, зачастую интересных для представителей смежных областей биологических наук. В работе [22] для подхода, связанного с базовой моделью заболевания, выделены следующие направления будущих исследований.
1. Построение и исследование математических моделей заболеваний и процессов иммунной защиты.
2. Обоснование и исследование общих принципов, определяющих строение и функционирование иммунной системы.
3. Построение моделей взаимосвязей между иммунной системой и другими защитными и регуляторными системами организма.
4. Построение моделей, учитывающих механизмы влияния факторов окружающей среды на функцию иммунной системы.
В заключение отметим, что опыт применения математического моделирования иммунного ответа представляет собой яркий пример того, как решение иммунологических задач способствует развитию математических методов, приводит к постановкам новых задач управления, что в свою очередь ведёт к получению новых теоретических результатов в иммунологии.
Список литературы
1. Hege G. S., Cole G. A mathematical model relating circulating antibody and antibody forming cells // The Journal of Immunology. 1966. № 97. P. 34–40.
2. Jilek M. On contact of immunocompetent cells with antigen // Folia Microbiologica. 1971. V. 16. P. 83–87.
3. Jilek M., Sterzl J. A model of differentiation of immunological component cells // Developmental aspects of antibody formation and structure / Prague: Academia, 1970. P. 960–981.
4. А, Электронное моделирование динамики иммунной реакции // Вестник МГУ. Серия Физика, астрономия. 1971. № 5. С. 520–526.
5. Bell G. Mathematical model of clonal selection and antibody production I // Journal of Theoretical Biology. 1970. V. 29. P. 191–232.
6. Bell G. Mathematical model of clonal selection and antibody production II // Journal of Theoretical Biology. 1972. V. 33. P. 339–378.
7. Bell G. Prey-predator equations simulating an immune response // Mathematical Biosciences. 1973. V. 16. P. 291–314.
8. Pimbley G. H. Periodic solutions of predator-prey equations simulating an immune response, I // Mathematical Biosciences. 1974. № 20. P. 27–51.
9. Pimbley G. H. Periodic solutions of predator-prey equations simulating an immune response, II // Mathematical Biosciences. 1974. № 21. P. 251–277.
10. Bruni C., Giovenco M. A., Koch G., et al. A dynamical model of humoral immune response // Mathematical Biosciences. 1975. V. 27. P. 191–211.
11. О математике и статистике в иммунологии // Математические модели в иммунологии и медицине: Сб. ст. 1982–1985 гг. / пер. с англ. Сост. , . М.: Мир, 1986. С. 33–45.
12. , , Математическая модель иммунной реакции I // Биофизика. 1976. Т.21. С. 905–909.
13. , , Математическая модель иммунной реакции II // Биофизика. 1977. Т.22. С. 313–317.
14. Dibrov B. F., Lifshits M. A., Volkenstein M. V. Mathematical model of immune process // Journal of Theoretical Biology. 1977. V. 65. P. 609–631.
15. Perelson A. S., Mirmirani M., Oster G. F. Optimal strategies in immunology: I. B-cell differentiation and proliferation // Journal of Mathematical Biology. 1976. V. 3. P. 325–367.
16. Perelson A. S., Mirmirani M., Oster G. F. Optimal strategies in immunology: II. B-memory cell production // Journal of Mathematical Biology. 1978. V. 5. P. 213–256.
17. Richter P. H. A network theory of immune system // European Journal of Immunology. 1975. V. 5. P. 350–354.
18. Cooper-Willis A., Hoffman G. V. Symmetry of effector function in the immune system network // Molecular immunology. 1983. V. 20. P. 865–870.
19. Gunter N., Hoffman G. W. Qualitative dynamics of network model for regulation of the immune system: a rationale for the IgM to IgG switch // Journal of Theoretical Biology. 1982. V. 94. P. 815–855.
20. Hoffman G. W. A theory of regulation and self-nonself discrimination in an immune network // European Journal of Immunology. 1975. V. 5. P. 638–647.
21. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980. 264 с.
22. , , Анализ данных и моделирование инфекционных заболеваний // Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Т. 2. Математическое моделирование / под ред. . М.: Наука, 2005. С. 352– 404.
23. Анализ математических моделей в иммунологии. М.: Наука, 1988. 192 с.
24. , Исследование математической модели вирусного заболевания // Математические методы в клинической практике. Новосибирск: Наука, 1978. С. 19–26.
25. , Качественный анализ простейшей математической модели инфекционного заболевания // Математическое моделирование в иммунологии и медицине / под ред. . Новосибирск: Наука, 1982. С. 5–27.
26. Простейшая модель влияния температурной реакции на динамику иммунного ответа // Математическое моделирование в иммунологии и медицине / под ред. . Новосибирск: Наука, 1982. С. 40–44.
27. Математическая модель биинфекции и лечение хронических форм болезни обострением в её рамках // Математическое моделирование в иммунологии и медицине / под ред. . Новосибирск: Наука, 1982. С. 33–40.
28. Математическая модель присоединённого заболевания // Математические модели заболеваний и методы обработки медицинской информации / под ред. . Новосибирск: Наука, 1979. С. 32–37.
29. , Математическая модель управления иммунной системой // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, вып. 6. С. 1043–1044.
30. , Оптимальное управление иммунологическими реакциями организма человека // Проблемы управления. 2009. № 5. С. 44–52.
31. Математические модели заболеваний и анализ экспериментальных данных. М.: Наука, 1987. 192 с.
32. Статистическое оценивание параметров математических моделей заболеваний. М.: Наука, 1988. 172 с.
33. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. 304 с.
34. , Математическая модель противовирусного иммунного ответа // Вычислительные процессы и системы. Вып. 1. М.: Наука, 1983. C. 5–11.
35. , , Условия подобия процессов в системах взаимодействующих частиц // Докл. РАН. 1995. Т. 345, № 5. С. 605–606.
36. , , и др. Математическое моделирование вирусного гепатита. М.: Наука, 1981. 352 с.
37. Беседы о подобии процессов в живых системах. М.: Наука, 1999. 224 с.
38. Применение математических моделей заболеваний в клинической практике. М.: Наука, 1988. 192 с.
39. Сопоставление математической модели заболевания и клинических данных // Математическое моделирование в иммунологии и медицине. Новосибирск: Наука, 1982. С. 27–32.
40. , Идентификация параметров и управление в математических моделях иммунного ответа // Российский журнал биомеханики. 2014. Т. 18,
№ 2. С. 259–269.
41. , Математическая модель влияния иммунотерапии на динамику иммунного ответа // Проблемы управления. 2012. № 6. С. 45–50.
42. , Математическая модель усиления иммунного ответа стимулятором антителопродукции // Математические модели в иммунологии и медицине: Сб. ст. 1982–1985 гг. / пер. с англ. Сост. , . М.: Мир, 1986. С. 136–144.
43. Forys U. Hopf bifurcation in Marchuk’s model of immune reactions // Mathematical and Computer Modelling. 2001. V. 34. P. 725–735.
44. Marchuk G. I. Mathematical modeling of immune response in infectious diseases. Dordrecht: Kluwer, 1997. 350 p.
45. Marchuk G. I., Pogozhev I. B., Zuev S. M. Similarity conditions of the processes in system of interacting particles // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1996. V. 11, № 1. P. 41–47.
46. Stengel R. F., Ghigliazza R. M., Kulkarni N. V. Optimal enhancement of immune response // Bioinformatics. 2002. V.18, № 9. P.1227–1235.
On some approaches to mathematical modeling of the immune response in infectious diseases
S. V. Rusakov, M. V. Chirkov
Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15
*****@***ru; (342) 2-396-584
A brief review of mathematical models of the immune response is presented. Aspects of development of the application of the mathematical techniques in immunology are considered. Particular attention is given to the basic mathematical model of an infectious disease.
Key words: mathematical model of the immune response; infectious disease; network models of the immune reaction; parameterization.
© , , 2015
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
