Физика (стр. 28 )

Решение. Объем газа, протекающего через поперечное сечение трубы за t = 1 с равен . С другой стороны, этот объем равен произведению скорости жидкости и площади поперечного сечения: . Приравнивая два выражения для объема, получим:

.

Пример 12. На дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Диаметр сосуда D = 0.5 м. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h = 0.2 м.

Решение. Обозначим через площадь поперечного сечения сосуда и − скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), – площадь поперечного сечения отверстия и – скорость вытекания воды из отверстия. По теореме Бернулли, или . В силу неразрывности струи или . Подставив последнее равенство в уравнение Бернулли и решив его относительно , получим: . Так как и , то . Так как , то приближенно . Отметим, что если , то . При h = 0.2 м имеем: .

Полученное выражение для скорости истечения жидкости через отверстие носит название «формула Торичелли».

Пример 13. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше веса этого шарика?

Решение. На всплывающий шарик действуют сила Архимеда ( − радиус шарика), сила веса и сила сопротивления Стокса . Поскольку шарик поднимается с постоянной скоростью, то равнодействующая всех сил равна нулю: . Все силы направлены по вертикали: − вверх, и − вниз. Проектируя векторное уравнение на вертикальное направление, получаем: или . Учитывая, что , имеем: . Отсюда .

Задачи для самостоятельного решения

К разделу «Кинематика»

1. Одновременно из одного пункта выезжают два автомобиля, которые движутся в одном направлении. Зависимость пройденного автомобилями пути от времени определяется уравнениями:

.

Определить относительную скорость автомобилей.

.

2. Тело проходит одинаковые участки пути с постоянными в пределах участка скоростями . Определить среднюю скорость тела на всем пути..

3. Тело брошено горизонтально с крыши высокого здания со скоростью 10.6 м/с. Определить местоположение и скорость тела через 4 с. Сопротивление воздуха не учитывать. .

4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса 4 м, изменяется по закону . Найти тангенциальное ускорение точки; путь, пройденный точкой за 6 с после начала движения, и полное ускорение в момент , если

5. В плоскости OXY тело первую половину времени движется со скоростью под углом к направлению оси OX, а вторую половину времени со скоростью под углом к тому же направлению. Найти среднюю скорость движения тела по осям OX, OY. .

6. Велосипедист, достигнув скорости 18 км/ч, перестает работать педалями и останавливается, проехав расстояние 25 м. Считая движение равнозамедленным, определить ускорение движения; скорость спустя 5 с; время торможения до полной остановки.

7. Тело движется равноускоренно; в конце первой секунды имело скорость 1 м/с. Какой путь оно пройдет за 5 с? Какова его скорость в конце пятой секунды и какова средняя скорость за 5 с? .

8. С крыши через каждую 0.1 с падает капля воды. На каком расстоянии друг от друга будут находиться через 1 с после начала падения первой капли следующие три капли?

9. Движение точки по кривой задано уравнениями , где и , где . Найти уравнение траектории точки, ее скорость и ускорение в момент времени t = 1 с.

10. Поезд движется по закруглению радиусом 400 м, причем его тангенциальное ускорение равно 0.2 м/с2. Определить его нормальное и полное ускорение в тот момент, когда его скорость равна 10 м/с. [0.25 м/с2]; [0.32 м/с2].

К разделу «Динамика»

1. Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти зависимость кинетической энергии от времени, если принять, что в начальный момент времени скорость равна нулю. .

2. Шар массой 2 кг движется со скоростью 5 м/с навстречу шару массой 3 кг, движущемуся со скоростью 10 м/с. Найти кинетическую энергию системы шаров после неупругого центрального удара.

3. Скорость поезда массой m меняется по закону . Определить работу силы тяги за промежуток времени от до .