Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 10 )

1) (2;3;1), (1;-1;3), (1;9;-11);

2) (3;-2;1), (2;1;2), (3;-1;-2);

3) (2;-1;2), (1;2;-3), (3;-4;7).

§10 Система аксиом n-мерного евклидова точечного пространства. Простейшие следствия аксиом.

п.1 Аксиомы евклидова точечного пространства.

Пусть задано непустое множество Еn, элементы которого будем называть точками и обозначать большими латинскими буквами А, В,… .

Определение 1. Множество Еn называется n-мерным евклидовым точечным пространством, если определено отображение в n-мерное евклидово векторное пространство Wn , причем это отображение удовлетворяет следующим условиям ( аксиомам точечного пространства):

1.  Для любой точки А пространства En и любого вектора х пространства Wn существует такая точка В, что γ (А, В) = х.

2.  Для любых точек А, В, С выполняется равенство

γ(А, В)+γ(В, С)+γ(С, А)=0.

3.  Если γ (А, В) = 0, то А=В.

Определение 2. Векторное пространство Wn называется пространством ассоциированным с пространством En.

Таким образом, отображение γ ставит в соответствие каждой упорядоченной паре точек А, в вектор γ(А, В) из векторного пространства Wn. Точка А назевается началом вектора γ(А, В), точка В – концом вектора. Для вектора γ(А, В) обычно применяется обозначение .

Аксиома №1: От любой точки А можно отложить вектор, равный данному вектору х.

Аксиома №2: Векторная сумма трех сторон треугольника равна нулевому вектору.

В определении евклидова точечного пространства указаны три аксиомы. Кроме того, используется понятие евклидова векторного пространства, которое в свою очередь, определяется аксиомами линейного пространства и аксиомами скалярного произведения. Таким образом, понятие евклидова точечного пространства определяется тремя группами аксиом : I – аксиомы линейного пространства, II – аксиомы скалярного произведения, III – аксиомы точечного пространства.

В качестве примера евклидова точечного пространства рассмотрим пространство, определяемое аксиомами школьного курса геометрии. Множество всех векторов этого пространства есть трехмерное евклидово векторное пространство ( в этом множестве выполняются аксиомы линейного пространства и скалярного произведения). Если каждой упорядоченной паре точек А, В поставить в соответствие вектор , то это отображение удовлетворяет аксиомам 1-3 точечного пространства.

П.2 Аффинное пространство.

Если в определении евклидова точечного пространства заменим евклидово векторное пространство на линейное пространство, сохранив аксиомы 1 – 3, то получим точечное пространство, которое называется n-мерным аффинным пространством и обозначается Аn. Аксиомы 1 – 3 часто называют аксиомами аффинного пространства.

Отметим, что n-мерное евклидово точечное пространство является частным случаем n-мерного аффинного пространства, а именно n-мерное евклидово точечное пространство – это n-мерное аффинное пространство, у которого векторное пространство, ассоциированное с ним, является евклидовым.

П.3 Простейшие следствия из аксиом.

Докажем несколько утверждений, непосредственно вытекающих из аксиом.

Теорема №1. Для любой точки А справедливо равенство =.

Доказательство. Справедливость теоремы следует из аксиомы №2, если положить А = В = С. ■

Теорема №2. Для любых точек А и В справедливо равенство = - .

Доказательство. В аксиоме №2 положим А = С и воспользуемся теоремой №1.■

Теорема №3. Для любых точек А, В, С имеет место равенство .

Доказательство. Теорема следует из аксиомы №2 и теоремы №2.■

Теореме №4. Если вектор то В = С ( т. е. от данной точки отложить вектор, равный данному, можно единственным образом).

Доказательство. В равенстве вместо вектора подставим вектор . Получим . Из аксиомы №3 следует, что В = С.■

П.4. Аффинные и декартовые координаты.

Координаты в евклидовом точечном пространстве En вводятся следующим образом. В ассоциированном векторном пространстве Wn выберем произвольный базис е = {е1, е2, …, еn}. Тогда, как известно, координаты (х1, х2, …, хn) вектора х в данном базисе есть коэффициенты его разложения по векторам данного базиса:

х = х1е1+ х2е2+…+ хnеn.

В пространстве En выберем некоторую точку О, которую будем называть началом координат. Пара (О, е) называется аффинным координатным репером. Пусть Х – произвольная точка. Вектор называется радиус-вектором точки Х. Его координаты называются координатами точки Х относительно репера (О, е). Такая система координат называется аффинной. Если базис е ортонормированный, то система координат называется декартовой. Легко видеть, что в данном репере координаты каждой точки определены однозначно и, обратно, задание координат однозначно определяет точку. Таким образом система координат в евклидовом точечном пространстве определяется выбором начала координат О и базиса

е = {е1, е2, …, еn}.

Между координатами вектора, координатами его конца и начала существует простая зависимость. Пусть точка А(а1, а2, …, аn) – начало, а В(b1, b2, …, bn) – конец вектора . Так как и вектор имеет координаты (b1- а1, b2 –а2, …, bn - аn).

П.5 Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

В этом пункте мы будем рассматривать евклидово векторное пространство Wn. Напомним, что длиной вектора называется число .

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами х и у называется число . (1)

Для того чтобы равенство (1) определяло угол между любыми двумя ненулевыми векторами х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялость условие или равносильное ему .

Последнее неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Теорема №5. Равенство выполняется тогда и только тогда. когда векторы коллинеарны.

Теорема №6. (Неравенство треугольника).

Для любух векторов х и у выполняется неравенство причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у сонаправлены, т. е. х = λу, λ>0, или один из векторов нулевой.

П.6 Расстояние между точками.

Рассмотрим евклидово точечное пространство En.

Определение 4. Расстоянием между точками А и В называется длина вектора , т. е.

.

Теорема №7. Евклидово точечное пространство En является метрическим пространством относительно расстояния, определенное равенством , т. е. расстояние обладает следующими свойствами:

1.  Для любых точек Х и У выполняется равенство .