Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 2 )

Отсюда следует второе правило построения вектора разности:

Из произвольной точки пространства отложить направленные отрезки, представляющие уменьшаемый и вычитаемый векторы; тогда направленный отрезок с началом в конце направленного отрезка, представляющего вычитаемый вектор, и с концом в конце направленного отрезка, представляющего уменьшаемый вектор, будет представлять вектор разности.

п.3. Умножение вектора на число.

Определение 1. Произведением вектора на число l (l¹0) называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1)  векторы

2)  векторы

3) 

Операция умножения вектора на число обозначается следующим образом:

.

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1) 

2) 

3) 

4) 

Для того, чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число l, удовлетворяющее условию

Задача 1

Направленные отрезки и, совпадают со сторонами правильного шестиугольника принадлежат соответственно векторам и . Найти векторы, которым принадлежат направленные отрезки

.

Решение:

1)

Так как

правильный шестиугольник, поэтому

Отсюда следует, что

.

Задача 2.

Дан треугольник АВС

Каким векторам принадлежат направленные отрезки, совпадающие с медианами этого треугольника?

Решение.

Замечание

Пусть - данный вектор, т. е. класс эквивалентности отношения .

Если - представитель этого класса, т. е. представляет класс эквивалентности, т. е. вектор . В этом случае вектор обозначается через и на рисунке изображается в виде направленного отрезка . В дальнейшем будем иметь это в виду.

Задача 3

Доказать, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, то

и для любой точки О справедливо равенство

Решение:

Пусть - медианы ∆АВС пересекаются в точке М

Аналогично находятся

что и требовалось доказать.

Пусть О – произвольная точка. Тогда

Сложим данные равенства и получим

Тогда

, что и требовалось доказать.

Задача 4

А, В, С и D – произвольные точки пространства,

M и N - cередина отрезков АD и ВС

Доказать, что

Решение.

Пусть А, В, С и D – произвольные точки пространства, тогда данные точки являются вершинами пространственного четырехугольника АВСD.

М – середина отрезка АD,

N – середина отрезка ВС

(по правилу многоугольника)

Сложим данные векторные равенства и учтем, что

.

Тогда ,

отсюда следует, что .

Задачи для самостоятельного решения:

1.  По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные

векторы i и j (рис. ). Выразить через i и j векторы если М – середи-на стороны ВС, N – середина стороеы АС, а длина ОА = 3, ОВ = 4.

2.  Проверить аналитически и геометрически векторные тождества: 1) ; 2) .

3.  Даны векторы . Вектор - медиана треугольника ∆ОАВ. Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор по векторам ; 2) вектор по векторам .

4.  В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. ) угол ВОА = 60°, ОВ = ВС = СА = 2, М, N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы через векторы - единичные векторы направлений ОА и ОВ.

5.  Пусть М, N, P, Q – середины сторон АВ, СD, ВС, DЕ пятиугольника АВСDЕ, а К, L – середины отрезков МN, PQ.

Доказать, что прямые АЕ и КL параллельны и .

6.  Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.