Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 4 )

Для этого через конец М вектора проведем прямые, параллельные векторам и , до их пересечения в точках В и С с прямыми, на которых соответственно расположены векторы и . Имеем очевидное равенство OM=OB+OC.

Так как векторы ОB и ОС коллинеарны соответственно векторам и , то ОВ = λ1 и ОС =λ2. Поэтому = λ1+λ2.

т. е. вектор является линейной комбинацией векторов и .

Следствие 1. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

В самом деле, пусть даны п векторов аь а2, ..., аn (п > 3). Так как три вектора на плоскости всегда линейно зависимы, то для векторов аь а2,a3 имеем a1=μ2a2+μ3a3. В таком случае для всех п векторов можно написать a1= μ2a2+μ3a3+0a4+…+0an,

т. е. вектор a1 есть линейная комбинация остальных векторов.

Что касается двух векторов и , то, как известно (см. п.2) они коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство =λ , т. е. когда векторы и линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

п.2. Линейная зависимость векторов в пространстве.

Определение 1. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Заметим, что если компланарные векторы имеют общее начало, то они, очевидно, лежат в одной плоскости.

Теорема 1. Всякие четыре вектора а, b, с и d в пространстве линейно зависимы.

Из этой теоремы аналогично следствию из п. 4 получим следствие.

Следствие. Если число данных векторов в пространстве больше четырех, то они также линейно зависимы.

Аналогично предыдущему пункту устанавливаем следующее: Для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они  были линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема  2. Для того чтобы три вектора , , в пространстве были линейно независимы,  необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

§5. Базис на плоскости и в пространстве.

Определение 1. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Пусть - любой вектор на плоскости, а векторы и образуют базис. Так как на плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение =λ 1 + λ2 (1).

Если вектор представлен в виде =λ 1 + λ2 , то говорят, что он разложен по базису, образованному векторами и . Числа λ 1 и λ2 называют координатами вектора  на плоскости относительно базиса и .

 Теорема 1. Разложение вектора по базису и   является единственным.

Доказательство. Допустим, что наряду с разложением  имеет место разложение

 =ν 1 + ν2 (2)

Покажем, что в этом случае λ1 = ν1,  λ2 =ν 2 . Действительно, вычитая равенство (2) из равенства (1), получаем соотношение = (λ1-ν1) + (λ2-ν2 )

(Возможность почленного вычитания равенств и производимой группировки членов вытекает из свойств линейных операций над векторами.) Так как векторы базиса   ,   линейно независимы, то (λ1-ν1)= 0 и (λ2-ν2 )= 0 . Отсюда  λ1=ν1 и  λ2=ν2 , т. е  разложение вектора    по базису   , единственно.

Определение 2. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 следует, что три любых некомпланарных вектора образуют базис. Как и в случае плоскости, устанавливает­ся, что любой вектор разлагается по векторам  , и базиса: = λ1+ λ2+ λ3, причем это разложение единственное.