а) координаты векторов 
, 
;
б) длину вектора 
;
в) координаты вектора 2+3-;
2. Разложить вектор d (6; 10; 17) по векторам a (1; 2; 3), b (-1; 3; 2 ),
с (7; -3; 5).
3. Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3) параллелограмма АВСК. Найти его четвертую вершину К, противоположную вершине В.
4. Отрезок с концами в точках А(3;-2) и В(6;4) разделен на три равные части точками С и М. Вычислите координаты точек С и М.
5. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7), С(8;-3;-1), М(4;7;-2) является квадратом.
6. Найти вектор 
(т. е. ((АВ +АС) х (ВС х АВ)) если А(2;2;3), В(1;0;4), С(2;3;5).
7. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если 
= 3i+4j, 
= -3j+k, 
= 2j+5k.
8. При каком λ векторы 
будут компланарны? Если а(λ;3;1), b(5;-1,2), с(-1,5,4).
Теоретический блок:
1. Что называется векторным произведением?
2. Как вычислить площадь треугольника АВС, если известны координаты вершин?
3. Какие векторы называются коллинеарными?
4. Какие векторы называются ортами?
5. При каком условии векторы компланарны?
Вариант № 2
Практический блок:
1. Даны точки А1(3;0;-2), А2(-1;4;0), А3(1;-3;5) вычислить:
а) координаты векторов , ;
б) длину вектора ;
в) координаты вектора 2+3-;
2. Разложить вектор d( 1; -13; -13) по векторам a ( 4; 7; 8), b ( 9; 1; 3 ),
с ( 2; -4; 1).
3. Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3) параллелограмма АВСК. Найти его четвертую вершину К, противоположную вершине В.
4.Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и В(5;-2;0) разделен на три равные части.
5. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек М(2;4;1) и К(-3;2;5).
6. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах 
.
7. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если = 2j+5k, = -3j+k, = 3i+4j.
8. При каком λ векторы будут компланарны? Если а(1;2λ;1),
b(1, λ,0), с(0; λ;1)).
Теоретический блок:
1. Что называется скалярным произведением?
2. Как вычислить объем треугольной пирамиды АВСМ, если известны координаты её вершин?
3. Какие векторы называются компланарными?
4. Когда упорядоченная тройка векторов называется правой?
5. При каком условии векторы 
будут коллинеарны?
Теоретический тест.
1. Что называется вектором?
а) множество эквивалентных между собой направленных отрезков.
б) множество сонаправленных отрезков.
в) множество эквиполентных между собой направленных отрезков.
2. .Если представители двух ненулевых векторов лежат на параллельных прямых или принадлежат одной прямой, то такие векторы называются:
а) компланарными;
б) коллинеарными;
в) параллельными.
3. Произведением вектора 
на число l (l¹0) называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
а) векторы 
векторы 
б) векторы 
векторы 
в) векторы
векторы
г) векторы 
векторы 
4. Если линейная комбинация векторов 
при ai ≠ 0 , то векторы называются:
а) линейно независимыми;
б) линейно зависимыми;
в) линейно нейтральными.
5. Любые два коллинеарных вектора являются:
а) линейно независимыми;
б) линейно зависимыми;
в) равными.
6. Скалярным произведением двух векторов называется
а) число, равное произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.
б) число, равное произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.
в) число, равное половине произведения модулей этих векторов
7. Векторным произведением векторов 
и 
называется:
а) вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
, где j - угол между векторами 
и , 
;
2) вектор 
ортогонален векторам 
и 
;
3) , и образуют левую тройку векторов.
б) модуль вектора , удовлетворяющего следующим условиям:
1) , где j - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
в) вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) , где j - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
8. Смешанным произведением векторов , и называется
а) число, равное скалярному произведению вектора на векторное произ-ведение векторов и .
б) вектор, модуль которого равен скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .
в) число, равное векторному произведению вектора на скалярное произ-ведение векторов и .
9. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен:
а) модулю смешанного произведения этих векторов, умноженному на шесть.
б) одной пятой части модуля смешанного произведения этих векторов.
в) одной шестой части модуля смешанного произведения этих векторов.
10. Если вектор 
то
а) точки В и С лежат на одной прямой;
б) точки В и С совпадают;
в) точки В и С находятся друг от друга на расстоянии, равном 
.
Литература.
1. Минорский задач по высшей математике. - М.; Наука, 1977.
2. Сборник задач по математике для втузов / Под редакцией , , - М.: Наука, 1986. – Ч.I. Линейная алгебра.
3. , , Геометрия. Ч.II. – С.-П.; Специальная литература, 1997.
4. , , Цаленко -практикум по геометрии. Ч.III. – М.; Просвещение, 1979.
5. , , Кожевникова математика в примерах и задачах. – М.; Высшая школа, 1980. – Ч.I.
6. Шипачев по высшей математике. – М.; Высшая школа, 2002.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
