Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 11 )

2.  Для любых точек Х и У выполняется неравенство .

3.  тогда и только тогда, когда Х=У.

4.  Для любых точек Х, У, Z выполняется неравенство треугольника .

Доказательство. 1. .

2.  . .

3.  Если , то , что возможно тогда и только тогда, когда . В этом случае по аксиоме №3 Х=У.

4.  Так как , то по теореме №6 . ■

П.7 Вычисление расстояний и углов.

Пусть в евклидовом точечном пространстве En введены декартовые координаты х1, х2,…, хn. Напомним, что при этом в ассоциированном пространстве Wn выбирается некоторый ортонормированный базис.

Длина вектора х (х1, х2,…, хn.) в такой системе координат вычисляется по формуле , а скалярное произведение х (х1, х2,…, хn.) и

у (у1, у2,…, уn.) по формуле (х, у)= х1 у1 + х2 у2+…+хn уn. Тогда угол между векторами х и у определяется равенством

.

Расстояние между точками А(а1, а2,…, аn.) и В(b1, b2,…, bn.) можно вычислить по формуле .

Задача 1.. Пусть R(О;е1, е2, е3, е4, е5) аффинный репер в пятимерном пространстве А5. Найти координаты точек Е1, Е1, Е1, Е1, Е1, M, N, L, K, если

Решение. Координаты произвольной точки М аффинного пространства Аn совпадают с координатами ее радиус-вектора относительно базиса е1, е2, …, еn n-мерного векторного пространства Wn, связанного с пространством Аn. Поэтому точка М, для которой , имеет координаты (0;1;-1;2;-3). Аналогично находятся координаты остальных точек.

Задача 2. Найти координаты точек М1, М2, М3, М4, М5, М6 относительно аффинного рапера R(О;е1, е2, е3, е4), если =(1;3;0;-1), =(2;4;-1;5), =(1;1;-5;2), =(4;3;0;0), =(4;-3;7;2), =(1;1;3;4), N(1;-2;4;3).

Решение. Сначала найдем координаты радиус-векторов . В соответствии с аксиомами аффинного пространства Аn . Координаты вектора совпадают с координатами точки N, координаты векторов известны, следовательно, точка М1, например имеет координаты (2;1;4;2). Аналогично находятся координаты остальных точек.

Задача 3. Даны точки М(2;-2;-5;2;3) и К(6;6;0;-30;-12) аффинного пространства А5. Найти координаты точек Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, которые делят отрезок МК в отношении: λ1=1, λ2=2, λ3=1/3, λ4=-3, λ5= -1/2.

Решение. Известно, что координаты точки Р, делящей отрезок МК в отношении λ≠-1 в n-мерном пространстве, находятся по формуле:

,

где хi – координаты точки М, уi – координаты точки К, zi – координаты точки Р, i=1, 2,3, …, n. Поэтому точка Р1 имеет следующие координаты:

Отметим, что точка Р1 является серединой отрезка МК. Точка Р2 имеет следующие координаты:

.

Аналогично находятся координаты точек Р3, Р4, Р5.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Исходя из условий примера №1 найти координаты середин отрезков Е1Е2, Е4Е5, ЕМ, МN, LK.

2.  Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС в пространстве А5, зная координаты его вершин А(1;3;4;-2;1), В(3;1;-6;-2;5), С(5;-3;4;6;3).

3.  Найти вершину К параллелограмма АВСК в пространстве А4, зная координаты его вершин А(1;3;-2;1), В(4;-1;6;5), С(8;-5;2;3).

4.  Даны точки А(0;3;-4;5;-1), В(1;1;-2;-1;5), С(1;-7;2;-9;8), К(-1;-3;-2;3;-4) в А5. Доказать, что четырехугольник АВСК является трапецией.

Самостоятельные и контрольные работы.

Самостоятельная работа №1.

1.  В правильном шестиугольнике АВСDEF даны . Разложить по этим двум векторам векторы .

2.  В ромбе АВСК даны диагонали . Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: .

3.  Сторона ВС треугольника АВС разделена на пять равных частей и все точки деления D1, D2, D3, D4 соединены с противолежащей вершиной А . Обозначив стороны , найти выражения для векторов .

Самостоятельная работа №2.

1.  Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы вектор был перпендикулярен вектору .

2.  Даны три вектора (3;-1), (1;-2), (-1;7). Определить разложение вектора по базису , .

3.  Дан четырехугольник АВСК. Найти такую точку М, чтобы .

Самостоятельная работа №3.

1.  Даны два вектора (5;2), (7;-3). Найти вектор Х, удовлетворяющий одновременно двум уравнениям .

2.  Дано, что . Определить при каком значении λ векторы будут взаимно перпендикулярны.

3.  Доказать тождество .

Самостоятельная работа №4.

1.  Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.

2.  Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

3.  Дать алгебраическое доказательство того, что смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0.

4.  При каком коэффициенте λ векторы окажутся коллинеарными, если и - не коллинеарны.

Итоговая контрольная работа

Вариант № 1

Практический блок:

1.  Даны точки А1(1;1;2), А2(-1;3;0), А3(2;-1;-1) вычислить: