Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 6 )

   Пусть задана точка М(х; у. z). Поскольку координаты радиуса-вектора совпадают с проекциями этого вектора на оси коор­динат, т. е. с координатами точки М. то согласно равенству (7) имеем =xi+yj+zk.

(Если точка М лежит в плоскости xOy,  то =xi+yj. )

  Теперь пусть заданы две точки М1(x1; y1;z1) и М2(x2;y2;z2). Рассмотрим вектор  =-. Отсюда в силу теоремы 2 (см. в п.6) получаем

  (x2-x1; y2-y1; z2-z1).

  Итак, чтобы найти координаты некоторого вектора, достаточно из координат его конца вычесть одноименные координаты его начала.

  Длина вектора совпадает с расстоянием между точками А и В:

 

  Пусть два ненулевых вектора = axi+ayj+azk  и = bx  i+by j+bzk

коллинеарны. В этом случае =  ( -скаляр), что равносильно равенствам

 

 Это есть условие коллинеарности векторов.

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Обозначим через α, β, γ углы между вектором и осями координат.

Тогда проz=cosγ, т. е.

cosγ=.

cosβ=.

cosα=.

Определение 2. Сosγ, cosβ, cosα называются направляющими косинусами вектора .

Основное свойство направляющих косинусов отражает тождество: .

Задача 1.

В треугольнике АВС сторона АВ точками М и Nазделена на три равные части: . Найти вектор , если .

Решение.

Из равенств следует что . Следовательно, . Так как .

■.

Задача 2.

В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти вектор , если

Решение.

Из свойств биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что . Отсюда получаем Так как ,то

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2) и С(1;2;-3) параллелограмма АВСD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

2.  Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2;6), В(2;8) и точка пересечения его диагоналей М(2;2). Найти две другие вершины.

3.  Найти проекции вектора на координатные оси, если , А(0;0;1), В(3;2;1), С(4;6;5), D(1;6;3).

4.  Найти длину вектора (20;30;-60) и его направляющие косинусы.

5.  Даны две координаты вектора: х=4, у=-12. Определить его третью координату z при условии, что длина вектора равна 13.

6.  Даны и углы . Вычислить проекции вектора на координатные оси.

7.  Определить координаты точки М, если её радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его длина равна 3.

8.  Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и с осью Оу – угол 60°. Длина его равна 6. Определить координаты точки М, если её координата z отрицательна.

9.  Проверить коллинеарность векторов (3;-2;6) и (-6;3;-9). Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или противоположные стороны.

10.  Определить, при каких значениях α, β векторы коллинеарны.

§7 Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторовa и обозначается символом а или (,). Если угол между векторами а и равен , то = ||||соs.

Так как ,то .

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:

1) = (переместительное свойство);
2) 2= = ||2  (2 называется скалярным квадратом вектора);