Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 7 )

3) (+)=+ (распределительное свойство);

4) ( )= () (сочетательное свойство относительно числового множителя).

Примечание. Из свойств 1, 3, 4 скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами следует, что векторы можно перемножать скалярно как многочлены.

Из определения скалярного произведения следует, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами и равен cos=

Два вектора и перпендикулярны (ортогональны), т. е . = тогда и только тогда, когда их скалярное произведение () = 0.

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов или нулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору).

§7. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Даны два вектора =axi+ayj+azk и =bxi+byj+bzk.

Умножим данные векторы скалярно, учитывая соотношения Ij=jk=ki=0, ii=jj=kk=1, получим тождество: =axbx+ayby+azbz.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

Пример. Если (1,3,-1), (1, 0, 4), то по формуле имеем = -3. С учетом выше рассмотренных формул находим угол между векторами и :

=.

Задача 1.

Найти скалярное произведение векторов (3;4;7) и (2;-5;2).

Решение. По формуле =axbx+ayby+azbz находим =3*2+4*(-5)+7*2=0 . Поскольку =0 , тогда векторы и являются перпендикулярными.

Задача 2.

Найти угол между векторами (1;1;0) и (1;0;1).

Решение. Воспользуемся формулой =,

получим, что cosφ= .

Следовательно, φ=60°.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Найти скалярное произведение векторов и , зная, что ||=3, ||=4 и векторы образуют угол φ= .

2.  Даны векторы определить и .

3.  Даны векторы (4;-2;-4) и (6;-3;2). Вычислить:

а) (); б) (2-3)(+2); в) ( + )2.

4.  Даны векторы . При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

5.  Вычислить (5+3)(2-), если ||=2, ||=3, векторы ┴ .

6.  Определить угол между векторами (1;2;3) и (6;4;-2).

7.  Раскрыть скобки в выражении .

8.  Найти угол между биссектрисами углов хОу и уOz.

9.  Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.

10.  Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

11.  Вычислить: а) (+)2, если и - единичные векторы с углом между ними 30°; б) (-)2, если ||=2, ||=4 и угол между векторами и равен 135°.