Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 8 )

§8. Векторное произведение векторов.

Определение 1. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае троука называется левой.

Определение 2. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m)´= ´(m) = m(´);

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

.

6) Для базисных векторов получаем следующие равенства

в) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Задача 1

Даны векторы (2;5;7) и (1;2;4). Найти координаты x, y, z векторного произведения ×.

Решение. По формуле вычислим координаты вектора.

=.

Итак, ×=(6;-1;-1).

Задача 2 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах +3 и 3+, если ||=|=1, и угол между векторами равен 30°.

Решение. Согласно определению и свойству векторного произведения, имеем

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Определить и построить вектор , если :1) =

2) Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

2.  Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2).

3.  Постройте параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту.

4.  Доказать, что .

5.  Векторы и составляют угол 45°. Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если ||=|=5.

6.  Построить треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Вычислить его площадь и высоту ВМ.

7.  Даны векторы (2;3;5) и (1;2;1). Найти координаты векторного произведения х .

8.  Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах .

9.  Даны векторы (34-1;-2) и (1;2;-1). Найти координаты векторных произведений: 1) х ; 2) (2 + )х ; 3) (2 - )х(2 + ).