Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 3 )

7.  Даны три точки А, В и С. Построить точку Q такую, чтобы

8.  При каких условиях для ненулевых векторов возможны следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

9.  Точка - центр тяжести грани тетраэдра , противолежащий вершине Доказать, что отрезки

10.  Точки Р и Q середины отрезков [AB] и [CД] соответственно. Доказать, что середины отрезков [AC], [BД] и [PQ] принадлежат одной прямой.

11.  Два направленных отрезков разделены точками М и N в равных отношениях. Доказать, что векторы компланарны.

12.  Некоторая прямая пересекает прямые (ВС), (СА), (АВ) соответственно в точках . Доказать, что векторы коллинеарны.

§3. Угол между двумя векторами. Проекции векторов.

Скалярное произведение векторов.

П 1. Угол между двумя векторами

Термин «угол» будет использоваться для обозначения фигуры, образованной двумя лучами, исходящими из одной точки, и числа, измеряющего величину поворота одного луча до совпадения с другим лучом. Это число называется мерой угла. Под мерой угла будем понимать меру так называемого ориентированного угла. Меру угла будем считать положительной, если поворот первого луча до совпадения со вторым происходит против часовой стрелки, и отрицательной, - если по часовой стрелке.

Определение 1. Углом между двумя векторами называется ориентированный угол между направленными отрезками исходящими из одной точки и представляющими данные векторы.

Этот угол обозначается так: φ.

Определение 2. Два вектора называются взаимно перпендикулярными или ортогональными, если .

Частные случаи:

1) если то 0

2) если то π

П 2. Проекция векторов

Определение 1. Проекцией вектора на ось и называется величина направленного отрезка на оси и, где А’ – проекция точки А на ось и, В’ – проекция точки В на эту ось. Обозначение: при.

Проекция вектора на ось и определяется формулой

при = cosφ,

где φ – угол между вектором и осью и.

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол тупой, равна 0, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Проекции векторов на данную ось обладает следующими свойствами:

1) При()=при + прub,

2) Прu()=λпрu

Задача 1.

Сторона правильного шестиугольника равна а. Найти проекции на ось АД векторов, которые совпадают со сторонами шестиугольника.

Решение.

Пусть - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением оси АD. Векторы представители которых совпадают со сторонами шестиугольника, обозначим так же, как и представляющие их направленные отрезки. Тогда:

В	С

D

А

§4. Линейная зависимость векторов.

Определение 1. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , которая обращается в ноль при ai ≠ 0.

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

п.1. Линейная зависимость векторов на плоскости.

Теорема I. Любые три вектора , и на плоскости линейно зависимы.

Доказательство. Достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая:

1. Среди данных векторов имеется пара коллинеарных векторов, например а и b . Тогда

=λ или =λ+0

т. е. вектор есть линейная комбинация векторов и .

2. Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О. Покажем, что вектор а можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а другой – вектору .