Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 1 )

Основы векторной алгебры

для студентов экономических специальностей

Работу выполнила

преподаватель кафедры

Инженерной Математики

г. Улан – Удэ

2005г.

Содержание.

§1. Определение вектора

§2. Линейные операции над векторами.

п.1. Сложение векторов.

п.2. Вычитание векторов.

п.3. Умножение вектора на число.

§3. Угол между двумя векторами. Проекции векторов.

Скалярное произведение векторов.

п.1. Угол между двумя векторами.

п.2. проекции векторов.

§4. Линейная зависимость векторов.

п.1. Линейная зависимость векторов на плоскости.

п.2. линейная зависимость векторов в пространстве.

§5. Базис на плоскости и в пространстве.

§6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

§7. Скалярное произведение векторов.

§8. Векторное произведение векторов.

§9. Смешанное произведение векторов.

§10 Система аксиом n-мерного евклидова точечного пространства. Простейшие следствия аксиом.

§1. Определение вектора.

Определение 1. Отрезок, у которого указано начало и конец, называется направленным.

На рисунке изображен направленный отрезок, началом которого является точка А, а концом – точка В.

Определение 2. Два направленных отрезка называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых, и принадлежат одной полуплоскости с границей (АС), проходящей через начала данных направленных отрезков.

Определение 3. Говорят, что отрезок находится в отношении эквиполентности к отрезку если они сонаправлены и имеют равные длины (пишут ).

Множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы, в каждый из которых входят все эквиполентные между собой отрезки. Такой класс рассматривается как элемент нового множества, называемого фактор – множеством множества всех направленных отрезков пространства. Элементы фактор – множества называются векторами (иногда их называют свободными векторами).

Таким образом, вектор – множество всех эквиполентных между собой направленных отрезков. Векторы обозначаются

Из определения вектора следует, что из любой точки пространства можно отложить направленный отрезок, принадлежащий любому заданному вектору. Поэтому любой направленный отрезок однозначно задает вектор, а в то время как произвольный вектор задается в пространстве классом направленных отрезков. Это позволяет на чертеже изображать вектор одним из направленных отрезков, представляющих этот вектор.

Определение 4. Длина АВ направленного отрезка называется длиной (или модулем) вектора и обозначается .

Определение 5. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их представители лежат на параллельных прямых или принадлежат одной прямой.

Определение 6. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или принадлежат одной плоскости.

Определение 7. Векторы и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

§2. Линейные операции над векторами.

Определение 1. Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов, а также операция умножения вектора на число.

п.1. Сложение векторов.

Определение 2. Сложением векторов и называется вектор.

Построение вектора () осуществляется по правилам треугольника, параллелограмма и многоугольника.

Правило треугольника:

Из произвольной точки О пространства отложим вектора таким образом, чтобы вектор был приложен к концу вектора . Направленный отрезок принадлежит некоторому множеству эквиполентных отрезков и задает искомый вектор ( ).

Имеет место равенство Шаля: .

Так же сложение векторов можно осуществлять с помощью правила параллелограмма:

Пусть . На представителях с общим началом О построим параллелограмм ОАСВ. Диагональ ОС этого параллелограмма, исходящая из общей точки взятых направленных отрезков, задает сумму векторов.

Для сложения нескольких векторов используют правило многоугольника:

Из произвольной точки О пространства отложим вектор , из конца вектора отложим вектор , из конца вектора отложим вектор , а из конца вектора отложим вектор . Вектор, проведенный из начала вектора к концу вектора , и будет искомым вектором.

 

Имеют место следующие свойства:

1. 

2. 

3.  Для

4.  Для каждого вектора существует единственный вектор (- ), который называется вектором, противоположным вектору , такой, что .

П 2. Разность векторов.

Операция вычитания векторов вводится как операция, обратная сложению.

Определение 1. Разностью векторов и называется вектор , такой, что

Для любых двух векторов и разность определяется однозначно.

Имеет место равенство:

Применим последнее равенство для построения разности векторов.

Пусть . Построим и затем

Отрезок также представляет вектор разности