Основы векторной алгебры для студентов экономических специальностей (стр. 5 )

Числа λ1, λ2 и λ3 называют _координатами вектора   в пространстве относительно базиса  , и..

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными  линейными операциями над числами - координатами этих векторов.

Теорема 2. При сложении двух_векторов  1 и 2 их координаты (относительно любого базиса и или любого базиса  , и.) складываются. При умножении вектора 1 на любое число μ все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть, например,

1= λ1+ μ1+ ν1,  2= λ2+ μ2+ ν2.

Тогда в силу свойств линейных операций

1+2=(λ1+ λ2)+(μ1+ μ2)+(ν1+ ν2),

μ1=(μ λ1)+(μ μ1)+(μν1).

В силу единственности разложения по базису  , и, теорема для этого базиса доказана.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Задан тетраэдр ОАBC. В базисе из ребер найти координаты: а) вектора, где D и Е – середины ребер и ;

б) вектора , где F – точка пересечения медиан основания АВС.

2.  Вне плоскости параллелограмма АВСD взята точка О. В базисе из ребер

, , найти координаты: а) вектора , где М – точка пересечения диагоналей треугольника; б) вектора , где К – середина стороны АD.

3.  Заданы векторы а1(-1;2;0), а2(3;1;1), а3(2;0;1) и а=а1-2а2+0,4а3. Вычислить:

а) Модуль вектора а1; б) cos(а1 ^ j); в) координаты вектора а; г) прj а.

§6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (коорди­натные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной еди­ницей образуют декартову прямоугольную (кратко – прямоуголь­ную) систему координат в пространстве. Оси упорядочены, т. е. указано, какая из осей считается первой (она называется осью абсцисс и обозначается Ох),и какая – второй (ось ординат Оу) и какая –третьей (ось аппликат Оz).

Орты (взаимно-перпендикулярные единичные векторы) Ох, Оу, 0z обозначают соответственно ,,. Так как векторы ,, некомпланарны, то они образуют базис, который называется декартовым прямоугольным  базисом.

Каждый вектор может быть, и при­том единственным способом, разложен по декартовому прямо­угольному базису,, ,  т. е. для каждого вектора найдется, и притом единственная, тройка чисел ах, ау, аz , такая что справед­ливо равенство 

  = ах + аy+ аz

Числа аx , аy ,az называются декартовыми прямоугольными (или прямоугольными) координатами вектора .

Запись ( ах, ау, аz ) означает, что вектор имеет декартовы прямоугольные координаты  ах ,ау, аz..

Выясним геометрический смысл чисел  ах, ау, аz. Используя теоремы 2 и 1 о проекциях, имеем

  прох=ахпрох+ аyпрох+ аzпрох=ах

Аналогично устанавливаем пр0уа = ау, пр0z:а = аz:. Следовательно, числа ах ау, аг в формуле являются проекциями вектора  на координатные оси Ох, Оу, Оz cоответственно.

 Если М – произвольная точка в пространстве, то радиусом-вектором точки М назовем вектор ОМ, имеющий своим началом начало О заданной системы координат, а концом эту точку.

Определение 1. Декартовыми прямоугольными координатами точки М называются проекции ее радиуса-вектора ОМ на соот­ветствующие координатные оси; проекция на первую координат­ную ось называется абсциссой точки М, на вторую – ординатой, на третью – аппликатой:

х=прохОМ, y = проyOM , z = проzOM .

Символ М(х; у; z) означает, что точка М имеет координаты х,у, z.

Отметим, что каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная тройка действительных чисел (x, y,z) (ее координат).Верно и обратное: каждой упорядоченной тройке действи­тельных чисел (x,y,z) соответствует одна точка пространства. Это означает, что в пространстве положение произвольной точки М полностью определяется ее координатами х; у; z.