Теоретическая механика (стр. 10 )

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Охуг. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами rА и rВ (рис. 42); проведем вектор АВ, соединяющий эти точки. Тогда, как легко видеть,

rВ = rА -АВ (73)

Рис. 42

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (АВ=сonst). Вследствие этого, как видно из равенства (73), траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор АВ. Следовательно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства (73) по времени. Тогда получим:

drВ/dt= drА/dt+dАВ/dt

Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Производные же от векторов rА и rВ по времени дают скорости точек А и В. В результате находим, что

VА=VВ,

то есть что скорости точек А и В тела в любой момент времени одинаковы и по модулю и по направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные по времени, найдем:

dVА/dt= dVВ/dt или аА=аВ.

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а – ускорением поступательного движения.

§ 38. Вращательное движение твердого тела

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис. 43). Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения Az две полуплоскости: полуплоскость / – неподвижную и полуплоскость //, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 43). Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться взятым с соответствующим знаком углом j между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Мы будем считать угол j положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки.

Рис. 43

Измеряется угол j всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла j от времени t

j =f(t). (74)

Уравнение (74) выражает закон вращательного движения твердого тела.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость w и угловое ускорение e.

Если за промежуток времени D t=t1-t тело совершает поворот на угол D j =j 1-j, то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет численно равна

w ср=D j /D t.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение w ср, когда промежуток времени D t стремится к нулю:

w =limD j /D t=dj /dt. (75)

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Знак w определяет направление вращения тела. Легко видеть, что, когда вращение происходит против хода часовой стрелки, w >0, а если по ходу часовой стрелки, то w < 0.

Размерность угловой скорости радиан/секунда. Так как радиан - величина безразмерная, в качестве единицы измерения обычно применяется 1/сек.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора w, численная величина которого равна dj /dt и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени D t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину D w =w 1-w, то среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени будет численно равно:

e ср=D w /D t.

Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение e ср, когда промежуток времени D t стремится к нулю; следовательно,

e =limD w /D t=dw /dt=d2j /dt2. (76)

Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения – 1/сек2.

Рис. 43

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным. Угловое ускорение тела можно изобразить в виде вектора e, направленного вдоль оси вращения. При этом направление e совпадает с направлением w, когда тело вращается ускоренно (рис. 43, а) и противоположно w при замедленном вращении (рис. 43, б).

§ 39. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Аz. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dj, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=h dj. Тогда скорость точки будет равна

V=ds/dt=h dj /dt=hw. (77)

Скорость V в отличие от угловой скорости тела называют еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, линейная скорость точки вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела угловая скорость имеет в данный момент времени одно и то же значение, то линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения (рис. 44).

Рис. 44

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

аt =dV/dt, аn=V2/r.

В нашем случае r = h. Подставляя сюда значение V из равенства (77), получаем:

аt =h dw /dt=he, аn=h 2w 2/h=hw 2. (78)

Касательное ускорение аt направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение аn всегда направлено по радиусу h к оси вращения (рис. 45, а).

Полное ускорение точки М будет равно

а2= а2t + а2n (79)

Рис. 45

Так как угловое ускорение e и угловая скорость w имеют в данный момент для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол m с радиусами описываемых ими окружностей (рис. 45, б).

Глава 10. Плоскопараллельное движение твердого тела

§ 40. Уравнения плоскопараллельного движения.
Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной, плоскости II (рис. 46). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например, катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-шатунном механизме и др.

Рис. 46

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху, параллельной плоскости II. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие па прямой ММ', перпендикулярной к сечению S, то есть к плоскости II, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Оху. В дальнейшем будем плоскость Оху совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение (плоскую фигуру) S.